IX.8. L’application ˜
M
1143
Notons E l’ensemble des ν ∈ A
∗
˜
M,C
vérifiant cette condition. Supposons dorénavant
que
(6) la fonction (X, ϕ) → I
K ˜
M (˜ π, X, , K ˜
M (f ϕ )) sur A ˜
M × F est non nulle.
Il en est de même de la fonction (ν, ϕ) → I
K ˜
M (˜ π, ν, ϕ) sur iA
∗
˜
M
× F. Puisque
cette fonction est C
∞ en ν, cela entraîne que l ν est non nulle pour ν dans un
ouvert non vide de iA
∗
˜
M
. Un tel ouvert est donc contenu dans E. A fortiori E
n’est pas inclus dans une réunion finie d’hyperplans affines de A
∗
˜
M,C
. Remplaçons
les orbites μ(˜ π) et μ(˜ σ) par des points dans ces orbites. L’ensemble E est la réunion
sur H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ, ≤ a ˜
M ), w ∈ W et w
∈ W
M des ensembles
E H,w,w = (w(μ(˜ σ) + iμ H + V H,C ) − w
(μ(˜ π))) ∩ A
∗
˜
M,C
.
On peut donc fixer H, w et w
tels que E H,w,w ne soit pas inclus dans un hyperplan
affine de A
∗
˜
M,C
. Mais E H,w,w est clairement contenu dans un tel hyperplan, sauf
si c’est A
∗
˜
M,C
tout entier. Donc
(7)
A
∗
˜
M,C
⊂ (w(μ(˜ σ) + iμ H + V H,C ) − w
(μ(˜ π))).
Cette condition implique A
∗
˜
M,C
⊂ w(V H,C ). En vertu de l’hypothèse dim(H) ≤ a ˜
M ,
cette inclusion est une égalité. L’égalité (7) entraîne alors w
(μ(˜ π)) = w(μ(˜ σ) +
iμ H ). En considérant de nouveau μ(˜ π) comme une orbite sous l’action de W
M ,
cette égalité impose à μ(˜ π) d’appartenir à un ensemble fini d’orbites déterminé
par ˜
σ. La condition (6) implique donc
(8) il existe H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ) tel que dim(H) = a ˜
M ;
(9) l’orbite μ(˜ π) appartient à un ensemble fini d’orbites déterminé par ˜
σ.
Si dim(A ˜
R ) < dim(A ˜
M ), la condition (8) n’est jamais vérifiée. En général,
la condition (9) n’est vérifiée que pour un ensemble fini de ˜
π ∈ E ell,0 ( ˜
M , ω). Les
mêmes assertions valent donc pour la condition (6). Cela prouve la proposition.
La proposition entraîne immédiatement le corollaire suivant.
Corollaire. On a K ˜
M (f ) ∈ I ac,cusp (K ˜
M (R), ω, K) pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), K).
M
1143
Notons E l’ensemble des ν ∈ A
∗
˜
M,C
vérifiant cette condition. Supposons dorénavant
que
(6) la fonction (X, ϕ) → I
K ˜
M (˜ π, X, , K ˜
M (f ϕ )) sur A ˜
M × F est non nulle.
Il en est de même de la fonction (ν, ϕ) → I
K ˜
M (˜ π, ν, ϕ) sur iA
∗
˜
M
× F. Puisque
cette fonction est C
∞ en ν, cela entraîne que l ν est non nulle pour ν dans un
ouvert non vide de iA
∗
˜
M
. Un tel ouvert est donc contenu dans E. A fortiori E
n’est pas inclus dans une réunion finie d’hyperplans affines de A
∗
˜
M,C
. Remplaçons
les orbites μ(˜ π) et μ(˜ σ) par des points dans ces orbites. L’ensemble E est la réunion
sur H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ, ≤ a ˜
M ), w ∈ W et w
∈ W
M des ensembles
E H,w,w = (w(μ(˜ σ) + iμ H + V H,C ) − w
(μ(˜ π))) ∩ A
∗
˜
M,C
.
On peut donc fixer H, w et w
tels que E H,w,w ne soit pas inclus dans un hyperplan
affine de A
∗
˜
M,C
. Mais E H,w,w est clairement contenu dans un tel hyperplan, sauf
si c’est A
∗
˜
M,C
tout entier. Donc
(7)
A
∗
˜
M,C
⊂ (w(μ(˜ σ) + iμ H + V H,C ) − w
(μ(˜ π))).
Cette condition implique A
∗
˜
M,C
⊂ w(V H,C ). En vertu de l’hypothèse dim(H) ≤ a ˜
M ,
cette inclusion est une égalité. L’égalité (7) entraîne alors w
(μ(˜ π)) = w(μ(˜ σ) +
iμ H ). En considérant de nouveau μ(˜ π) comme une orbite sous l’action de W
M ,
cette égalité impose à μ(˜ π) d’appartenir à un ensemble fini d’orbites déterminé
par ˜
σ. La condition (6) implique donc
(8) il existe H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ) tel que dim(H) = a ˜
M ;
(9) l’orbite μ(˜ π) appartient à un ensemble fini d’orbites déterminé par ˜
σ.
Si dim(A ˜
R ) < dim(A ˜
M ), la condition (8) n’est jamais vérifiée. En général,
la condition (9) n’est vérifiée que pour un ensemble fini de ˜
π ∈ E ell,0 ( ˜
M , ω). Les
mêmes assertions valent donc pour la condition (6). Cela prouve la proposition.
La proposition entraîne immédiatement le corollaire suivant.
Corollaire. On a K ˜
M (f ) ∈ I ac,cusp (K ˜
M (R), ω, K) pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), K).