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Chapitre IX. Le cas archimédien
N en chaque λ j . Pour chaque espace H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ), écrivons H = iμ H + iV H ,
où V H est un sous-espace de A
∗
˜
R
et μ H ∈ A
∗
˜
R
est orthogonal à V H et posons
H C = iμ H + V H,C . Notons H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ, ≤ a ˜
M ) le sous-ensemble des H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ)
tels que dim(H) ≤ a ˜
M = dim(A ˜
M ). Montrons que
(4) supposons que, pour tout j = 1, . . . , m et tout H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ, ≤ a ˜
M ), λ j
n’appartient pas à H C ; alors l ν = 0.
Sous l’hypothèse de (4), on peut trouver un polynôme Q sur A
∗
˜
R,C
tel que Q−1
s’annule à l’ordre N en tout λ j et Q s’annule sur tout élément de H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ, ≤ a ˜
M ).
Ces conditions étant invariantes par W ( ˜
R), on peut supposer Q invariant par ce
groupe. Pour ϕ ∈ F, on a ϕ = (1 − Q)ϕ + Qϕ. Le premier terme appartient à J ν F
donc est annulé par l ν . On va montrer que
(5)
K ˜
M (f Qϕ ) = 0.
Cela entraîne a fortiori l ν (Qϕ) = 0, ce qui prouve (4). Prouvons (5). Si K ˜
M
ne possède pas de sous-tore tordu maximal elliptique, toute fonction elliptique sur
K ˜
M (R) est nulle, d’où (5). Sinon, fixons un tel sous-tore tordu maximal elliptique
˜
T de K ˜
M . Pour γ ∈ ˜
T (R)∩ ˜
G reg (R), on va prouver que I
K ˜
M (γ, ω, , K ˜
M (f Qϕ )) = 0,
ce qui démontrera (5). Cette intégrale orbitale est calculée par la proposition
8.7. Compte tenu de la définition de F , seules les paires conjuguées à la paire
fixée (K ˜
R, ˜
σ) interviennent dans les deux premières sommes. Compte tenu des
invariances par conjugaison de nos différents objets, on voit que, pour prouver la
nullité souhaitée, il suffit de prouver que
ξ K ˜
R,˜ σ,H (γ, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , (f Qϕ ) K ˜
R,ω ) = 0
pour tout H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ) et tout λ ∈ H en position générale. On a
I
K ˜
R (˜ σ λ , (f Qϕ ) K ˜
R,ω ) = |W ( ˜
R)|
−1
w∈W ( ˜
R)
Q(wλ)ϕ(wλ).
D’après l’invariance de Q, il suffit de prouver que
ξ K ˜
R,˜ σ,H (γ, λ)Q(λ) = 0
pour tout H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ) et tout λ ∈ H en position générale. Or, si dim(H) ≤ a ˜
M ,
Q(λ) = 0. Si dim(H) > a ˜
M , c’est la première fonction qui est nulle d’après la
proposition 8.8(ii). Cela prouve (5) et (4).
Il résulte de (4) que, pour que l ν soit non nulle, il est nécessaire qu’il existe
H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ, ≤ a ˜
M ) de sorte que
W (μ(˜ π) + ν) ∩ (μ(˜ σ) + iμ H + V H,C ) = ∅.
Chapitre IX. Le cas archimédien
N en chaque λ j . Pour chaque espace H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ), écrivons H = iμ H + iV H ,
où V H est un sous-espace de A
∗
˜
R
et μ H ∈ A
∗
˜
R
est orthogonal à V H et posons
H C = iμ H + V H,C . Notons H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ, ≤ a ˜
M ) le sous-ensemble des H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ)
tels que dim(H) ≤ a ˜
M = dim(A ˜
M ). Montrons que
(4) supposons que, pour tout j = 1, . . . , m et tout H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ, ≤ a ˜
M ), λ j
n’appartient pas à H C ; alors l ν = 0.
Sous l’hypothèse de (4), on peut trouver un polynôme Q sur A
∗
˜
R,C
tel que Q−1
s’annule à l’ordre N en tout λ j et Q s’annule sur tout élément de H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ, ≤ a ˜
M ).
Ces conditions étant invariantes par W ( ˜
R), on peut supposer Q invariant par ce
groupe. Pour ϕ ∈ F, on a ϕ = (1 − Q)ϕ + Qϕ. Le premier terme appartient à J ν F
donc est annulé par l ν . On va montrer que
(5)
K ˜
M (f Qϕ ) = 0.
Cela entraîne a fortiori l ν (Qϕ) = 0, ce qui prouve (4). Prouvons (5). Si K ˜
M
ne possède pas de sous-tore tordu maximal elliptique, toute fonction elliptique sur
K ˜
M (R) est nulle, d’où (5). Sinon, fixons un tel sous-tore tordu maximal elliptique
˜
T de K ˜
M . Pour γ ∈ ˜
T (R)∩ ˜
G reg (R), on va prouver que I
K ˜
M (γ, ω, , K ˜
M (f Qϕ )) = 0,
ce qui démontrera (5). Cette intégrale orbitale est calculée par la proposition
8.7. Compte tenu de la définition de F , seules les paires conjuguées à la paire
fixée (K ˜
R, ˜
σ) interviennent dans les deux premières sommes. Compte tenu des
invariances par conjugaison de nos différents objets, on voit que, pour prouver la
nullité souhaitée, il suffit de prouver que
ξ K ˜
R,˜ σ,H (γ, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , (f Qϕ ) K ˜
R,ω ) = 0
pour tout H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ) et tout λ ∈ H en position générale. On a
I
K ˜
R (˜ σ λ , (f Qϕ ) K ˜
R,ω ) = |W ( ˜
R)|
−1
w∈W ( ˜
R)
Q(wλ)ϕ(wλ).
D’après l’invariance de Q, il suffit de prouver que
ξ K ˜
R,˜ σ,H (γ, λ)Q(λ) = 0
pour tout H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ) et tout λ ∈ H en position générale. Or, si dim(H) ≤ a ˜
M ,
Q(λ) = 0. Si dim(H) > a ˜
M , c’est la première fonction qui est nulle d’après la
proposition 8.8(ii). Cela prouve (5) et (4).
Il résulte de (4) que, pour que l ν soit non nulle, il est nécessaire qu’il existe
H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ, ≤ a ˜
M ) de sorte que
W (μ(˜ π) + ν) ∩ (μ(˜ σ) + iμ H + V H,C ) = ∅.