IX.8. L’application ˜
M
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Z(M ) est isomorphe à l’algèbre des polynômes sur h
∗ invariants par W
M . On
la fait agir sur S(iA
∗
˜
M
) par (zψ)(λ) = z(μ(˜ π) + λ)ψ(λ). Par transformation de
Fourier, on obtient une action sur S(A ˜
M ) que l’on note ρ. C’est-à-dire que l’on a
(zψ)
ˆ = ρ(z) ˆ
ψ. Il est facile d’expliciter cette action. On décompose h
∗ = h
M,∗
⊕a ˜
M .
Cela décompose Z(M ) en produit tensoriel de l’algèbre des polynômes sur h
M,∗
invariants par W
M et une algèbre isomorphe à Sym(a ˜
M ). Pour z dans la première
algèbre, ρ(z) est la multiplication par z(μ(˜ π)). Pour X ∈ a ˜
M , l’action ρ(X) est
la dérivation ∂ X . Soit h ∈ I(K ˜
M (R), ω). La fonction X → I
K ˜
M (˜ π, X, h) est la
transformée de Fourier de λ → I
K ˜
M (˜ π λ , h). On sait que, pour z ∈ Z(M ), on a
l’égalité
I
K ˜
M (˜ π λ , zh) = z(μ(˜ π) + λ)I
K ˜
M (˜ π λ , h).
On en déduit que
(2)
I
K ˜
M (˜ π, X, zh) = ρ(z)I
K ˜
M (˜ π, X, h).
Mais cette formule se généralise à h ∈ I ac (K ˜
M (R), ω). En effet, fixons X, puis une
fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
M ) qui vaut 1 dans un voisinage de X. On a
(3)
I
K ˜
M (˜ π, X, z(h(b ◦ H ˜
M ))) = ρ(z)I
K ˜
M (˜ π, X, h(b ◦ H ˜
M )).
Il résulte de la description de l’action ρ que ρ(z)I
K ˜
M (˜ π, X, h(b ◦ H ˜
M )) ne dépend
que des valeurs de I
K ˜
M (˜ π, X
, h(b ◦ H ˜
M )) pour X
proche de X. Or, pour de
tels X
, on a I
K ˜
M (˜ π, X
, h(b ◦ H ˜
M )) = I
K ˜
M (˜ π, X
, h). D’autre part, la différence
z(h(b ◦ H ˜
M )) − (zh)(b ◦ H ˜
M ) est nulle en un point γ tel que H ˜
M (γ) est proche de
X. On en déduit
I
K ˜
M (˜ π, X, z(h(b ◦ H ˜
M ))) = I
K ˜
M (˜ π, X, (zh)(b ◦ H ˜
M )) = I
K ˜
M (˜ π, X, zh).
L’égalité (3) est donc identique à (2). En particulier, l’égalité (2) est vérifiée pour
h = ˜
M (f ϕ ). Par inversion de Fourier, on en déduit l’égalité de l’assertion (1).
Soit ν ∈ A
∗
˜
M,C
. Définissons une forme linéaire l ν sur F par
l ν (ϕ) = I
K ˜
M (˜ π, ν, , ˜
M (f ϕ )).
Les assertions (1) ci-dessus et 8.3(1) entraînent que l ν (zϕ) = z(μ(˜ π) + ν)l ν (ϕ). En
notant J ν l’idéal des éléments z ∈ Z(G) tels que z(μ(˜ π) + ν) = 0, on obtient que
l ν annule J ν F . Rappelons que Z(G) agit sur F par (zϕ)(λ) = z(μ(˜ σ) + λ)ϕ(λ).
Supposons que W (μ(˜ π) + ν) ∩ (μ(˜ σ) + A
∗
˜
R,C
) = ∅. Le lemme [IV] 2.5 entraîne alors
que J ν F = F , donc l ν est nulle. Supposons que W (μ(˜ π) + ν) ∩ (μ(˜ σ) + A
∗
˜
R,C
)
soit non vide, notons λ 1 ,. . .,λ m les éléments de A
∗
˜
R,C
tels que cette intersection
soit {μ(˜ σ) + λ j ; j = 1, . . . , m}. Le même lemme entraîne l’existence d’un entier
N ≥ 0 tel que J ν F contienne tous les éléments de F qui s’annulent à l’ordre