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Chapitre IX. Le cas archimédien
et pour λ tel que P w (X, λ) = 0, considérons l’égalité (5) comme une égalité de
fonctions en Y . Elle dit qu’une fonction exponentielle coïncide avec une fonction
rationnelle sur le Z-module Ker T . Il en résulte aisément que cette exponentielle
est constante sur ce réseau, ce qui implique que 2Y, w(μ(˜ σ) + λ) ∈ 2πiZ pour
tout Y ∈ Ker T . On se rappelle que H est un sous-espace affine de iA
∗
˜
R
. Notons
H
0 le sous-espace linéaire associé. Les seules conditions imposées à λ sont λ ∈ H
et P w (X, λ) = 0. Elles définissent un ouvert non vide et la relation ci-dessus est
vérifiée pour tout λ dans cet ouvert. On peut donc remplacer λ par λ + ν, où ν
est un élément de H
0 assez voisin de 0. On en déduit que 2Y, w(ν) ∈ 2πiZ pour
tout Y ∈ Ker T et tout ν ∈ H
0 assez proche de 0. Cela entraîne facilement que
Y, w(ν) = 0 pour tout ν ∈ H
0
⊗ R C et tout Y dans le C-sous-espace de t
θ (R)
engendré par Ker T . Comme on l’a dit, ce sous-espace est X ∗ (T
θ,0 )
−
⊗ Z C. Parce
que ˜
T est un sous-tore tordu elliptique de ˜
M , l’orthogonal de ce sous-espace est a
∗
˜
M
.
La relation précédent signifie que w(H
0
⊗ R C) est inclus dans a
∗
˜
M
. Cela implique
que dim(H) ≤ dim(a ˜
M (R)) = dim(A ˜
M ). Cela prouve le (ii) de l’énoncé.
IX.8.9 K-finitude
On réalise l’espace de Paley–Wiener P W
∞ (K ˜
G, ω) et son sous-espace P W (K ˜
G, ω)
en utilisant les bases E ell,0 (K ˜
R, ω) des espaces D ell,0 (K ˜
R, ω) pour tout K ˜
R ∈
L(K ˜
M 0 ). Fixons un tel K ˜
R et un élément ˜
σ ∈ E ell,0 (K ˜
R, ω). Notons F l’espace des fonctions de Paley–Wiener sur A
∗
˜
R,C
. On l’identifie au sous-espace des
éléments (ϕ ˜
σ ) ˜
σ ∈E ell,0 (K ˜
R,ω) ∈ P W ell (K ˜
R, ω) dont toutes les composantes sont
nulles sauf celle pour ˜
σ
= ˜
σ. On dispose alors de l’homomorphisme de symétrisation sym : F → F
W ( ˜
R)
→ P W ( ˜
G, ω) et de l’isomorphisme de Paley–Wiener
pw : I( ˜
G(R), ω, K) → P W ( ˜
G, ω) (cf. [IV] 2.4 et [81] 6.1). Pour ϕ ∈ F, on pose
f ϕ = pw
−1
◦ sym(ϕ).
Proposition.
(i) Supposons dim(A ˜
R ) < dim(A ˜
M ). Alors K ˜
M (f ϕ ) = 0 pour tout ϕ ∈ F.
(ii) Supposons dim(A ˜
R ) ≥ dim(A ˜
M ). Alors K ˜
M (f ϕ ) est K-finie, c’est-à-dire
appartient à I ac,cusp (K ˜
M (R), ω, K), pour tout ϕ ∈ F.
Preuve. Fixons ˜
π ∈ E ell,0 (K ˜
M, ω). Soit ϕ ∈ F. Comme on l’a dit en 8.3(2), on
dispose d’une fonction méromorphe λ → I
K ˜
M (˜ π, λ, , ˜
M (f ϕ )) sur A
∗
˜
M,C
. Montrons
que
(1) pour λ ∈ A
∗
˜
M,C
et z ∈ Z(M ), on a l’égalité
I
K ˜
M (˜ π, λ, zz ˜
M (f ϕ )) = z(μ(˜ π) + λ)I
K ˜
M (˜ π, λ, , ˜
M (f ϕ )).
Considérons les espaces S(iA
∗
˜
M
) et S(A ˜
M ) des fonctions de Schwartz sur iA
∗
˜
M
et A ˜
M et la transformation de Fourier ψ → ˆ
ψ de S(iA
∗
˜
M
) sur S(A ˜
M ). L’algèbre
Chapitre IX. Le cas archimédien
et pour λ tel que P w (X, λ) = 0, considérons l’égalité (5) comme une égalité de
fonctions en Y . Elle dit qu’une fonction exponentielle coïncide avec une fonction
rationnelle sur le Z-module Ker T . Il en résulte aisément que cette exponentielle
est constante sur ce réseau, ce qui implique que 2Y, w(μ(˜ σ) + λ) ∈ 2πiZ pour
tout Y ∈ Ker T . On se rappelle que H est un sous-espace affine de iA
∗
˜
R
. Notons
H
0 le sous-espace linéaire associé. Les seules conditions imposées à λ sont λ ∈ H
et P w (X, λ) = 0. Elles définissent un ouvert non vide et la relation ci-dessus est
vérifiée pour tout λ dans cet ouvert. On peut donc remplacer λ par λ + ν, où ν
est un élément de H
0 assez voisin de 0. On en déduit que 2Y, w(ν) ∈ 2πiZ pour
tout Y ∈ Ker T et tout ν ∈ H
0 assez proche de 0. Cela entraîne facilement que
Y, w(ν) = 0 pour tout ν ∈ H
0
⊗ R C et tout Y dans le C-sous-espace de t
θ (R)
engendré par Ker T . Comme on l’a dit, ce sous-espace est X ∗ (T
θ,0 )
−
⊗ Z C. Parce
que ˜
T est un sous-tore tordu elliptique de ˜
M , l’orthogonal de ce sous-espace est a
∗
˜
M
.
La relation précédent signifie que w(H
0
⊗ R C) est inclus dans a
∗
˜
M
. Cela implique
que dim(H) ≤ dim(a ˜
M (R)) = dim(A ˜
M ). Cela prouve le (ii) de l’énoncé.
IX.8.9 K-finitude
On réalise l’espace de Paley–Wiener P W
∞ (K ˜
G, ω) et son sous-espace P W (K ˜
G, ω)
en utilisant les bases E ell,0 (K ˜
R, ω) des espaces D ell,0 (K ˜
R, ω) pour tout K ˜
R ∈
L(K ˜
M 0 ). Fixons un tel K ˜
R et un élément ˜
σ ∈ E ell,0 (K ˜
R, ω). Notons F l’espace des fonctions de Paley–Wiener sur A
∗
˜
R,C
. On l’identifie au sous-espace des
éléments (ϕ ˜
σ ) ˜
σ ∈E ell,0 (K ˜
R,ω) ∈ P W ell (K ˜
R, ω) dont toutes les composantes sont
nulles sauf celle pour ˜
σ
= ˜
σ. On dispose alors de l’homomorphisme de symétrisation sym : F → F
W ( ˜
R)
→ P W ( ˜
G, ω) et de l’isomorphisme de Paley–Wiener
pw : I( ˜
G(R), ω, K) → P W ( ˜
G, ω) (cf. [IV] 2.4 et [81] 6.1). Pour ϕ ∈ F, on pose
f ϕ = pw
−1
◦ sym(ϕ).
Proposition.
(i) Supposons dim(A ˜
R ) < dim(A ˜
M ). Alors K ˜
M (f ϕ ) = 0 pour tout ϕ ∈ F.
(ii) Supposons dim(A ˜
R ) ≥ dim(A ˜
M ). Alors K ˜
M (f ϕ ) est K-finie, c’est-à-dire
appartient à I ac,cusp (K ˜
M (R), ω, K), pour tout ϕ ∈ F.
Preuve. Fixons ˜
π ∈ E ell,0 (K ˜
M, ω). Soit ϕ ∈ F. Comme on l’a dit en 8.3(2), on
dispose d’une fonction méromorphe λ → I
K ˜
M (˜ π, λ, , ˜
M (f ϕ )) sur A
∗
˜
M,C
. Montrons
que
(1) pour λ ∈ A
∗
˜
M,C
et z ∈ Z(M ), on a l’égalité
I
K ˜
M (˜ π, λ, zz ˜
M (f ϕ )) = z(μ(˜ π) + λ)I
K ˜
M (˜ π, λ, , ˜
M (f ϕ )).
Considérons les espaces S(iA
∗
˜
M
) et S(A ˜
M ) des fonctions de Schwartz sur iA
∗
˜
M
et A ˜
M et la transformation de Fourier ψ → ˆ
ψ de S(iA
∗
˜
M
) sur S(A ˜
M ). L’algèbre