IX.8. L’application ˜
M
1139
Supposons X ∈ Ω. Pour λ ∈ H
, on peut remplacer (X)∂ U ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ)
par ∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ). Faisons tendre X vers X 0 . Pour tout λ ∈ H
,
∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ)
tend vers ∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X 0 )η, λ).
L’assertion (3) montre que ∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) reste uniformément bornée par le produit d’une constante et de (1 + |λ|)
N pour un entier N convenable. On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée. La fonction
∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X 0 )η, λ) est encore bornée par une puissance de 1 + |λ| et la limite
quand X tend vers 0 de (X)∂ U I
K ˜
M (exp(X)η, ω, , K ˜
M (f )) est la somme en K ˜
R,
˜
σ, H des intégrales
H
∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X 0 )η, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ) dλ.
On peut évidemment refaire le calcul en remplaçant Ω par Ω
. On obtient une expression similaire. Les deux expressions obtenues vérifient la condition de symétrie
8.4(3) (parce que ce sont des limites d’expressions qui la vérifient). Il en résulte
que ces deux expressions coïncident. C’est-à-dire que, pour tous K ˜
R, ˜
σ, H et pour
tout U , on a l’égalité
∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X 0 )η, λ) = ∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X 0 )η, λ).
Puisque les deux fonctions ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) et ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) sont des
exponentielles-polynômes, l’égalité de toutes leurs dérivées en un point entraîne
leur égalité. Donc, pour λ ∈ H
, ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) ne dépend pas de Ω. Les
termes P
Ω
w (X, λ) non plus. Mais alors, l’assertion (4) démontre le (i) de l’énoncé.
Considérons de nouveau des données K ˜
R, ˜
σ et H fixées. On voit facilement
que la fonction vérifie la condition de périodicité : pour Y ∈ Ker T , (X)//(X +Y )
ne dépend pas de X ∈ t
. Il en résulte que (X + 2Y ) = (X) pour X ∈ t
et
Y ∈ Ker T . Puisqu’on a aussi exp(X + 2Y ) = exp(X), la formule du (i) de l’énoncé
entraîne
w∈W θ /W˜ σ,H
e
X+2Y,w(μ(˜ σ)+λ) P w (X + 2Y, λ) =
w∈W θ /W˜ σ,H
e
X,w(μ(˜ σ)+λ) P w (X, λ).
Cette égalité pour tout X ∈ t
et tout λ ∈ H
entraîne que
(5)
e
2Y,w(μ(˜ σ)+λ) P w (X + 2Y, λ) = P w (X, λ)
pour tous w ∈ W
θ , X ∈ t
, λ ∈ H
et Y ∈ Ker T . Si P w (X, λ) est identiquement
nul pour tout w, la conclusion du (ii) de l’énoncé est claire. Sinon, fixons w, X
tels que la fonction λ → P w (X, λ) ne soit pas nulle. Pour ces valeurs de w et X
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Supposons X ∈ Ω. Pour λ ∈ H
, on peut remplacer (X)∂ U ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ)
par ∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ). Faisons tendre X vers X 0 . Pour tout λ ∈ H
,
∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ)
tend vers ∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X 0 )η, λ).
L’assertion (3) montre que ∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) reste uniformément bornée par le produit d’une constante et de (1 + |λ|)
N pour un entier N convenable. On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée. La fonction
∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X 0 )η, λ) est encore bornée par une puissance de 1 + |λ| et la limite
quand X tend vers 0 de (X)∂ U I
K ˜
M (exp(X)η, ω, , K ˜
M (f )) est la somme en K ˜
R,
˜
σ, H des intégrales
H
∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X 0 )η, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ) dλ.
On peut évidemment refaire le calcul en remplaçant Ω par Ω
. On obtient une expression similaire. Les deux expressions obtenues vérifient la condition de symétrie
8.4(3) (parce que ce sont des limites d’expressions qui la vérifient). Il en résulte
que ces deux expressions coïncident. C’est-à-dire que, pour tous K ˜
R, ˜
σ, H et pour
tout U , on a l’égalité
∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X 0 )η, λ) = ∂ U ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X 0 )η, λ).
Puisque les deux fonctions ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) et ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) sont des
exponentielles-polynômes, l’égalité de toutes leurs dérivées en un point entraîne
leur égalité. Donc, pour λ ∈ H
, ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) ne dépend pas de Ω. Les
termes P
Ω
w (X, λ) non plus. Mais alors, l’assertion (4) démontre le (i) de l’énoncé.
Considérons de nouveau des données K ˜
R, ˜
σ et H fixées. On voit facilement
que la fonction vérifie la condition de périodicité : pour Y ∈ Ker T , (X)//(X +Y )
ne dépend pas de X ∈ t
. Il en résulte que (X + 2Y ) = (X) pour X ∈ t
et
Y ∈ Ker T . Puisqu’on a aussi exp(X + 2Y ) = exp(X), la formule du (i) de l’énoncé
entraîne
w∈W θ /W˜ σ,H
e
X+2Y,w(μ(˜ σ)+λ) P w (X + 2Y, λ) =
w∈W θ /W˜ σ,H
e
X,w(μ(˜ σ)+λ) P w (X, λ).
Cette égalité pour tout X ∈ t
et tout λ ∈ H
entraîne que
(5)
e
2Y,w(μ(˜ σ)+λ) P w (X + 2Y, λ) = P w (X, λ)
pour tous w ∈ W
θ , X ∈ t
, λ ∈ H
et Y ∈ Ker T . Si P w (X, λ) est identiquement
nul pour tout w, la conclusion du (ii) de l’énoncé est claire. Sinon, fixons w, X
tels que la fonction λ → P w (X, λ) ne soit pas nulle. Pour ces valeurs de w et X