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Chapitre IX. Le cas archimédien
Considérons pour quelques instants que λ est fixé et qu’il appartient à H
.
Notons simplement ξ(X) = ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ). L’égalité (1) est une équation
différentielle portant sur la fonction ξ. En faisant varier z, on obtient un système
d’équations différentielles. On connaît grâce à [76] théorème 11 la forme des solutions. Dans tout ouvert connexe où ξ est C
∞ , ξ s’écrit
ξ(X) =
w∈W θ /W˜ σ,H
e
X,w(μ(˜ σ)+λ) P w (X),
où P w est un polynôme en X de degré au plus |W ˜
σ,H |. Ces polynômes sont
uniquement déterminés. Evidemment, quand on considère de nouveau λ comme
variable, les polynômes dépendent de λ. On vérifie aisément par interpolation
que, puisque ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) est C
∞ en λ, les polynômes obtenus sont C
∞
en tout point λ en position générale. Par ailleurs, on peut aussi bien remplacer ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) par (X)ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) puisque est localement
constante sur t
. En résumé, pour toute composante connexe Ω de t
, il existe
d’uniques fonctions P
Ω
w (X, λ), pour w ∈ W
θ /W ˜
σ,H , qui sont polynomiales en X
de degré au plus |W ˜
σ,H | et qui sont C
∞ en tout point λ ∈ H
, de sorte que
(4)
(X)ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) =
w∈W θ /W˜ σ,H
e
X,w(μ(˜ σ)+λ) P
Ω
w (X, λ)
pour tout X ∈ Ω et tout λ ∈ H
. Notons ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) le membre de
droite ci-dessus. On remarque que la fonction X → ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) s’étend
naturellement en une fonction C
∞ sur t
θ (R) définie par la même formule.
On va prouver que cette fonction ne dépend pas de Ω. Le complémentaire
de t
est une réunion de sous-espaces propres. Mais les sous-espaces de codimension au moins 2 ne créent pas de disconnexité. Il nous suffit de prouver l’égalité
ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) = ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) quand Ω et Ω
sont deux composantes connexes séparées par un unique hyperplan singulier. Considérons de telles
Ω et Ω
. Considérons un élément X 0 de l’hyperplan singulier qui sépare ces deux
composantes, qui est en position générale dans cet hyperplan et qui appartient
aux adhérences de Ω et Ω
. On a défini en 8.2 un signe Δ exp(X0)η (Y ) pour un
élément Y général et proche de 0. On vérifie sur la définition que le rapport
Δ exp(X0)η (Y )(X 0 + Y )
−1 est constant pour Y général et proche de 0. Soit f ∈
I(K ˜
G(R), ω, K). Parce que K ˜
M (f ) est une fonction cuspidale, la fonction Y →
Δ exp(X0)η (Y )I
K ˜
M (exp(Y + X 0 )η, ω, , K ˜
M (f )) est C
∞ au voisinage de 0. Ou encore
la fonction X → (X)I
K ˜
M (exp(X)η, ω, , K ˜
M (f )) est C
∞ au voisinage de X 0 . Soit
U ∈ Sym(t
θ ). Pour X ∈ t
proche de X 0 , (X)∂ U I
K ˜
M (exp(X)η, ω, , K ˜
M (f )) se
calcule par la formule 8.7(iv). On obtient une somme en K ˜
R, ˜
σ, H d’intégrales
(X)
H
∂ U ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ) dλ.
Chapitre IX. Le cas archimédien
Considérons pour quelques instants que λ est fixé et qu’il appartient à H
.
Notons simplement ξ(X) = ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ). L’égalité (1) est une équation
différentielle portant sur la fonction ξ. En faisant varier z, on obtient un système
d’équations différentielles. On connaît grâce à [76] théorème 11 la forme des solutions. Dans tout ouvert connexe où ξ est C
∞ , ξ s’écrit
ξ(X) =
w∈W θ /W˜ σ,H
e
X,w(μ(˜ σ)+λ) P w (X),
où P w est un polynôme en X de degré au plus |W ˜
σ,H |. Ces polynômes sont
uniquement déterminés. Evidemment, quand on considère de nouveau λ comme
variable, les polynômes dépendent de λ. On vérifie aisément par interpolation
que, puisque ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) est C
∞ en λ, les polynômes obtenus sont C
∞
en tout point λ en position générale. Par ailleurs, on peut aussi bien remplacer ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) par (X)ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) puisque est localement
constante sur t
. En résumé, pour toute composante connexe Ω de t
, il existe
d’uniques fonctions P
Ω
w (X, λ), pour w ∈ W
θ /W ˜
σ,H , qui sont polynomiales en X
de degré au plus |W ˜
σ,H | et qui sont C
∞ en tout point λ ∈ H
, de sorte que
(4)
(X)ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) =
w∈W θ /W˜ σ,H
e
X,w(μ(˜ σ)+λ) P
Ω
w (X, λ)
pour tout X ∈ Ω et tout λ ∈ H
. Notons ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) le membre de
droite ci-dessus. On remarque que la fonction X → ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) s’étend
naturellement en une fonction C
∞ sur t
θ (R) définie par la même formule.
On va prouver que cette fonction ne dépend pas de Ω. Le complémentaire
de t
est une réunion de sous-espaces propres. Mais les sous-espaces de codimension au moins 2 ne créent pas de disconnexité. Il nous suffit de prouver l’égalité
ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) = ξ
Ω
K ˜
R,˜ σ,H
(exp(X)η, λ) quand Ω et Ω
sont deux composantes connexes séparées par un unique hyperplan singulier. Considérons de telles
Ω et Ω
. Considérons un élément X 0 de l’hyperplan singulier qui sépare ces deux
composantes, qui est en position générale dans cet hyperplan et qui appartient
aux adhérences de Ω et Ω
. On a défini en 8.2 un signe Δ exp(X0)η (Y ) pour un
élément Y général et proche de 0. On vérifie sur la définition que le rapport
Δ exp(X0)η (Y )(X 0 + Y )
−1 est constant pour Y général et proche de 0. Soit f ∈
I(K ˜
G(R), ω, K). Parce que K ˜
M (f ) est une fonction cuspidale, la fonction Y →
Δ exp(X0)η (Y )I
K ˜
M (exp(Y + X 0 )η, ω, , K ˜
M (f )) est C
∞ au voisinage de 0. Ou encore
la fonction X → (X)I
K ˜
M (exp(X)η, ω, , K ˜
M (f )) est C
∞ au voisinage de X 0 . Soit
U ∈ Sym(t
θ ). Pour X ∈ t
proche de X 0 , (X)∂ U I
K ˜
M (exp(X)η, ω, , K ˜
M (f )) se
calcule par la formule 8.7(iv). On obtient une somme en K ˜
R, ˜
σ, H d’intégrales
(X)
H
∂ U ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ) dλ.