IX.8. L’application ˜
M
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pour le membre de droite et
H
ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , (zf ) K ˜
R,ω ) dλ
pour celui de gauche. On a
I
K ˜
R (˜ σ λ , (zf ) K ˜
R,ω ) = I
K ˜
R (˜ σ λ , z R f K ˜
R,ω ) = z(μ(˜ σ) + λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ).
On obtient ainsi des expressions similaires, avec une fonction
∂ z T θ,0 ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ)
dans le membre de droite et une fonction z(μ(˜ σ) + λ)ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) dans
celui de gauche. Ces fonctions forment deux familles indexées par ˜
R, ˜
σ, H. Ces
deux familles vérifient la condition de symétrie (2) de 8.4. Mais elles calculent le
même terme. Comme on l’a dit en 8.4, elles sont donc égales. On obtient l’égalité
(1)
∂ z T θ,0 ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) = z(μ(˜ σ) + λ)ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ).
L’algèbre Sym(t
θ ) est un module de type fini sur l’image de Z(G). On peut en fixer
une base (U i ) i=1,...,n . Pour U ∈ Sym(t
θ ), écrivons U =
i=1,...,n z i,T θ,0 U i avec des
z i ∈ Z(G). Alors
∂ U ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) =
i=1,...,n
∂ Ui ∂ z i,T θ,0 ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ)
=
i=1,...,n
z i (μ(˜ σ) + λ)∂ Ui ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ).
On en déduit une première amélioration du (ii) de la proposition 8.7 :
(2) pour tout sous-ensemble compact Γ ⊂ t
θ (R), il existe d ∈ N tel que, pour
tout U ∈ Sym(t
θ ), il existe un entier N ∈ N et une constante c > 0 de sorte
que
|∂ U ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ)| ≤ c|d reg (exp(X)η)|
−d (1 + |λ|)
N
pour tout X ∈ Γ ∩ t
et tout λ ∈ H.
L’entier d est devenu indépendant de U . Pour un compact Γ comme cidessus, il existe un nombre fini de formes linéaires l i , i = 1, . . . , k, sur t
θ (R) et une
constante c > 0 de sorte que d reg (exp(X)η) ≥ c|
i=1,...,k l i (X)| pour X ∈ Γ ∩ t
.
En appliquant le lemme 8.1, on obtient la seconde amélioration suivante :
(3) pour tout sous-ensemble compact Γ ⊂ t
θ (R) et tout U ∈ Sym(t
θ ), il existe
un entier N ∈ N et une constante c > 0 de sorte que
|∂ U ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ)| ≤ c(1 + |λ|)
N
pour tout X ∈ Γ ∩ t
et tout λ ∈ H.