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Chapitre IX. Le cas archimédien
Soient K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ), ˜
σ ∈ E ell,0 (K ˜
R, ω) et H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ). On sait définir
le paramètre infinitésimal μ(˜ σ) qui est une orbite dans h
∗ pour l’action de W .
On a vu en [IV] 1.2 que son intersection avec l’espace affine ˜
μ(ω) + h
θ,∗ était une
unique orbite pour l’action de W
θ . Fixons un point de cette intersection que, pour
simplifier, on note encore μ(˜ σ). On identifie t
∗ à h
∗ et donc H à un sous-ensemble
de h
∗ , en fait de ih
∗
R . Notons W ˜
σ,H le sous-groupe des éléments de W
θ qui fixent
tout élément de μ(˜ σ) + H. Notons H
le sous-ensemble des λ ∈ H tels que le
fixateur de μ(˜ σ) + λ dans W
θ soit égal à W ˜
σ,H . C’est le complémentaire dans H
d’un ensemble fini de sous-espaces affines propres.
Proposition.
(i) Pour tout w ∈ W
θ /W ˜
σ,H , il existe une unique fonction
t
θ (R) × H
→
C
(X, λ)
→ P w (X, λ)
vérifiant les conditions suivantes :
– P w (X, λ) est C
∞ en λ et polynomiale en X de degré inférieur ou égal
à |W ˜
σ,H | ;
– pour X ∈ t
θ (R) tel que exp(X)η soit fortement régulier dans ˜
G et pour
λ ∈ H
, on a l’égalité
ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) = (X)
w∈W θ /W˜ σ,H
e
X,w(μ(˜ σ)+λ) P w (X, λ).
(ii) On a ξ K ˜
R,˜ σ,H = 0 si dim(H) > dim(A ˜
M ).
Preuve. On oublie nos données fixées K ˜
R, ˜
σ et H qui ne joueront pas de rôle
particulier, ce qui libère ces symboles. Notons t
le sous-ensemble des éléments
X ∈ t
θ (R) tels que exp(X)η soit fortement régulier dans ˜
G. C’est un sous-ensemble
de t
qui est le complémentaire dans t
θ (R) d’un ensemble localement fini de sousespaces affines propres. Rappelons que l’on dispose de l’homomorphisme d’HarishChandra z → z T θ,0 de Z(G) dans Sym(t)
W
θ
θ,ω Sym(t
θ )
W
θ . Soient z ∈ Z(G), X ∈ t
et f ∈ I( ˜
G(R), ω). On a l’égalité K ˜
M (zf ) = z M K ˜
M (f ), cf. 8.2(1). On a donc
I
K ˜
M (exp(X)η, ω, , K ˜
M (zf )) = I
K ˜
M (exp(X)η, ω, z M K ˜
M (f ))
= ∂ z T θ,0 I
K ˜
M (exp(X)η, ω, , K ˜
M (f )).
Exprimons les deux termes à l’aide du (iv) de la proposition 8.7. On obtient pour
chacun d’eux une somme en K ˜
R, ˜
σ, H d’intégrales
H
∂ z T θ,0 ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ) dλ
Chapitre IX. Le cas archimédien
Soient K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ), ˜
σ ∈ E ell,0 (K ˜
R, ω) et H ∈ H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ). On sait définir
le paramètre infinitésimal μ(˜ σ) qui est une orbite dans h
∗ pour l’action de W .
On a vu en [IV] 1.2 que son intersection avec l’espace affine ˜
μ(ω) + h
θ,∗ était une
unique orbite pour l’action de W
θ . Fixons un point de cette intersection que, pour
simplifier, on note encore μ(˜ σ). On identifie t
∗ à h
∗ et donc H à un sous-ensemble
de h
∗ , en fait de ih
∗
R . Notons W ˜
σ,H le sous-groupe des éléments de W
θ qui fixent
tout élément de μ(˜ σ) + H. Notons H
le sous-ensemble des λ ∈ H tels que le
fixateur de μ(˜ σ) + λ dans W
θ soit égal à W ˜
σ,H . C’est le complémentaire dans H
d’un ensemble fini de sous-espaces affines propres.
Proposition.
(i) Pour tout w ∈ W
θ /W ˜
σ,H , il existe une unique fonction
t
θ (R) × H
→
C
(X, λ)
→ P w (X, λ)
vérifiant les conditions suivantes :
– P w (X, λ) est C
∞ en λ et polynomiale en X de degré inférieur ou égal
à |W ˜
σ,H | ;
– pour X ∈ t
θ (R) tel que exp(X)η soit fortement régulier dans ˜
G et pour
λ ∈ H
, on a l’égalité
ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) = (X)
w∈W θ /W˜ σ,H
e
X,w(μ(˜ σ)+λ) P w (X, λ).
(ii) On a ξ K ˜
R,˜ σ,H = 0 si dim(H) > dim(A ˜
M ).
Preuve. On oublie nos données fixées K ˜
R, ˜
σ et H qui ne joueront pas de rôle
particulier, ce qui libère ces symboles. Notons t
le sous-ensemble des éléments
X ∈ t
θ (R) tels que exp(X)η soit fortement régulier dans ˜
G. C’est un sous-ensemble
de t
qui est le complémentaire dans t
θ (R) d’un ensemble localement fini de sousespaces affines propres. Rappelons que l’on dispose de l’homomorphisme d’HarishChandra z → z T θ,0 de Z(G) dans Sym(t)
W
θ
θ,ω Sym(t
θ )
W
θ . Soient z ∈ Z(G), X ∈ t
et f ∈ I( ˜
G(R), ω). On a l’égalité K ˜
M (zf ) = z M K ˜
M (f ), cf. 8.2(1). On a donc
I
K ˜
M (exp(X)η, ω, , K ˜
M (zf )) = I
K ˜
M (exp(X)η, ω, z M K ˜
M (f ))
= ∂ z T θ,0 I
K ˜
M (exp(X)η, ω, , K ˜
M (f )).
Exprimons les deux termes à l’aide du (iv) de la proposition 8.7. On obtient pour
chacun d’eux une somme en K ˜
R, ˜
σ, H d’intégrales
H
∂ z T θ,0 ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ) dλ