IX.8. L’application ˜
M
1135
et δ(Dψ X ) sont donc minorées par c 2 (d reg (exp(X)η)/2)
d
. En utilisant (3), on en
déduit que l’application (X, λ) → ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) est m 0 fois dérivable en les
deux variables. De plus, pour tout opérateur différentiel à coefficients constants
Δ sur H de degré au plus m 0 et tout élément D ∈ Sym(t
θ ) de degré au plus m 0 ,
il existe un entier N ∈ N, une famille finie (H i ) i=1,...,n d’éléments de Sym(t
θ ) de
degré au plus m 3 = 2m(r − 1) + m 0 + m 1 et un entier d ∈ N de sorte que
(11)
|DΔξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ)| ≤ d reg (exp(X)η)
−dd
(1 + |λ|)
N
i=1,...,n
( sup
Y ∈t θ (R)
|∂ Hi χ(Y )|) + ( sup
Y ∈t θ (R)
|∂ Hi ψ(Y )|).
Notons que m 3 < 2mr − m 2 par définition de m. Le terme (1 + |λ|)
N s’introduit à
cause des polynômes z j (μ(˜ σ) + λ) de la formule (10). Reprenons la définition des
fonctions χ et ψ. On voit que les termes |∂ Hi χ(Y )| et |∂ Hi ψ(Y )| sont bornés par une
constante et une puissance négative de , l’exposant étant au plus m 3 . On a supposé
<
c1
2c0 d reg (exp(X)η) mais on peut aussi bien choisir =
c1
4c0 d reg (exp(X)η). Les
termes ci-dessus sont alors bornés par une constante et une puissance négative de
d reg (exp(X)η), l’exposant étant au plus m 3 . La majoration (11) prend alors la
forme du (ii) de l’énoncé.
On obtient ainsi une forme affaiblie des assertions (i) et (ii) de l’énoncé : pour
(i), on prouve seulement que la fonction est C
m0 en chaque variable ; pour (ii), on
impose que les degrés des opérateurs différentiels sont au plus m 0 . Mais le principe
d’unicité énoncé en 8.3 entraîne que les fonctions ξ K ˜
R,˜ σ,H que l’on a construites
sont indépendantes de l’entier m 0 utilisé pour les construire. En faisant varier cet
entier, les formes faibles de (i) et (ii) entraînent ces assertions telles qu’énoncées
dans la proposition.
IX.8.8 Description des fonctions ξ K ˜
R,˜ σ,H
On conserve la situation du paragraphe précédent. Fixons η ∈ ˜
T (R) ∩ ˜
G reg (R). On
dispose de l’exponentielle
exp : t
θ (R) → T
θ,0 (R).
Son noyau est un sous-Z-module de type fini de t
θ (R) que l’on note Ker T . Il
engendre le sous-espace X ∗ (T
θ,0 )
−
⊗ iR de t
θ (R), où l’exposant
− désigne le sousespace sur lequel Γ R agit par son unique caractère non trivial. Notons t
le sousensemble des éléments X ∈ t
θ (R) tels que exp(X)η soit régulier dans ˜
M (R).
C’est le complémentaire d’un ensemble localement fini d’hyperplans affines. Chacun de ces hyperplans est invariant par translations par a ˜
M (R) et ne contient pas
0 puisque η est fortement régulier dans ˜
G. Cet ensemble d’hyperplans est conservé
par translations par Ker T . Pour X ∈ t
, notons n(X) le nombres de ces hyperplans qui séparent X de 0 et posons (X) = (−1)
n(X) . Cela définit une fonction
: t
→ {±1}.
M
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et δ(Dψ X ) sont donc minorées par c 2 (d reg (exp(X)η)/2)
d
. En utilisant (3), on en
déduit que l’application (X, λ) → ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) est m 0 fois dérivable en les
deux variables. De plus, pour tout opérateur différentiel à coefficients constants
Δ sur H de degré au plus m 0 et tout élément D ∈ Sym(t
θ ) de degré au plus m 0 ,
il existe un entier N ∈ N, une famille finie (H i ) i=1,...,n d’éléments de Sym(t
θ ) de
degré au plus m 3 = 2m(r − 1) + m 0 + m 1 et un entier d ∈ N de sorte que
(11)
|DΔξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ)| ≤ d reg (exp(X)η)
−dd
(1 + |λ|)
N
i=1,...,n
( sup
Y ∈t θ (R)
|∂ Hi χ(Y )|) + ( sup
Y ∈t θ (R)
|∂ Hi ψ(Y )|).
Notons que m 3 < 2mr − m 2 par définition de m. Le terme (1 + |λ|)
N s’introduit à
cause des polynômes z j (μ(˜ σ) + λ) de la formule (10). Reprenons la définition des
fonctions χ et ψ. On voit que les termes |∂ Hi χ(Y )| et |∂ Hi ψ(Y )| sont bornés par une
constante et une puissance négative de , l’exposant étant au plus m 3 . On a supposé
<
c1
2c0 d reg (exp(X)η) mais on peut aussi bien choisir =
c1
4c0 d reg (exp(X)η). Les
termes ci-dessus sont alors bornés par une constante et une puissance négative de
d reg (exp(X)η), l’exposant étant au plus m 3 . La majoration (11) prend alors la
forme du (ii) de l’énoncé.
On obtient ainsi une forme affaiblie des assertions (i) et (ii) de l’énoncé : pour
(i), on prouve seulement que la fonction est C
m0 en chaque variable ; pour (ii), on
impose que les degrés des opérateurs différentiels sont au plus m 0 . Mais le principe
d’unicité énoncé en 8.3 entraîne que les fonctions ξ K ˜
R,˜ σ,H que l’on a construites
sont indépendantes de l’entier m 0 utilisé pour les construire. En faisant varier cet
entier, les formes faibles de (i) et (ii) entraînent ces assertions telles qu’énoncées
dans la proposition.
IX.8.8 Description des fonctions ξ K ˜
R,˜ σ,H
On conserve la situation du paragraphe précédent. Fixons η ∈ ˜
T (R) ∩ ˜
G reg (R). On
dispose de l’exponentielle
exp : t
θ (R) → T
θ,0 (R).
Son noyau est un sous-Z-module de type fini de t
θ (R) que l’on note Ker T . Il
engendre le sous-espace X ∗ (T
θ,0 )
−
⊗ iR de t
θ (R), où l’exposant
− désigne le sousespace sur lequel Γ R agit par son unique caractère non trivial. Notons t
le sousensemble des éléments X ∈ t
θ (R) tels que exp(X)η soit régulier dans ˜
M (R).
C’est le complémentaire d’un ensemble localement fini d’hyperplans affines. Chacun de ces hyperplans est invariant par translations par a ˜
M (R) et ne contient pas
0 puisque η est fortement régulier dans ˜
G. Cet ensemble d’hyperplans est conservé
par translations par Ker T . Pour X ∈ t
, notons n(X) le nombres de ces hyperplans qui séparent X de 0 et posons (X) = (−1)
n(X) . Cela définit une fonction
: t
→ {±1}.