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Chapitre IX. Le cas archimédien
où
Ψ K ˜
R,˜ σ,H,0 (λ) = φ K ˜
R,˜ σ,H (χ X , λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω )
et, pour j = 1, . . . , r,
Ψ K ˜
R,˜ σ,H,j (λ) = φ K ˜
R,˜ σ,H (∂ m(r−j) ψ X , λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , z j f K ˜
R,ω ).
On sait qu’à ˜
σ est associé un paramètre infinitésimal μ(˜ σ) qui est une orbite dans
h
∗ pour l’action de W
R . Identifions-le à un point de cette orbite. En identifiant
Z(G) à l’algèbre des polynômes sur h
∗
t
∗ , on a l’égalité
I
K ˜
R (˜ σ λ , z j f K ˜
R,ω ) = z j (μ(˜ σ) + λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ).
Posons
(9)
ξ K ˜
R,˜ σ,H (γ, λ) = φ K ˜
R,˜ σ,H (χ X , λ)
+
j=1,...,r
z j (μ(˜ σ) + λ)φ K ˜
R,˜ σ,H (∂ m(r−j) ψ X , λ).
Alors
j=0,...,r
Ψ K ˜
R,˜ σ,H,j (λ) = ξ K ˜
R,˜ σ,H (γ, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω )
et la formule (8) devient celle du (iv) de l’énoncé.
D’après (3) et la définition (9), les fonctions λ → ξ K ˜
R,˜ σ,H (γ, λ) sont de
classe C
m0 . Reprenons la construction en remplaçant l’élément X par un élément
X
voisin de X. Si X
est assez proche de X, on peut utiliser le même . Les
fonctions χ X et ψ X dépendent de X
seulement par translation. En se rappelant
la condition imposée à m, on voit alors que les applications X
→ χ X et X
→
ψ X sont des applications m 0 fois dérivables à valeurs dans C
m1 (u reg ). Pour U ∈
Sym(t
θ ) de degré au plus m 0 , les images de ces applications par ∂ U sont égales
à X
→ ∂ U χ X et X
→ ∂ U ψ X . D’autre part, considérons un ouvert E d’un
espace R
a , b ∈ N un entier et e → ϕ[e] une application b fois dérivable de E
dans C
m1 (u reg ). La majoration (3) entraîne que, pour tous K ˜
R, ˜
σ, H et tout
λ ∈ H, l’application e → φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ[e], λ) est b fois dérivable. Pour un opérateur
différentiel D sur R
a , à coefficients constants et de degré au plus b, l’image par
D de cette application est l’application e → φ K ˜
R,˜ σ,H (Dϕ[e], λ). De cela et de la
formule (9) résulte que X
→ ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X
)η, λ) est m 0 fois dérivable au point
X et que, pour D ∈ Sym(t
θ ) de degré au plus m 0 , on a l’égalité
(10)
Dξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) = φ K ˜
R,˜ σ,H (Dχ X , λ)
+
j=1,...,r
z j (μ(˜ σ) + λ)φ K ˜
R,˜ σ,H (∂ m(r−j) Dψ X , λ).
Il existe un entier d
> 0 et un réel c 2 > 0 tels que l’on ait une minoration
D
˜
G (exp(Y )η) ≥ c 2 d reg (Y )
d
pour tout Y ∈ u reg . D’après le choix de , δ(Dχ X )
Chapitre IX. Le cas archimédien
où
Ψ K ˜
R,˜ σ,H,0 (λ) = φ K ˜
R,˜ σ,H (χ X , λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω )
et, pour j = 1, . . . , r,
Ψ K ˜
R,˜ σ,H,j (λ) = φ K ˜
R,˜ σ,H (∂ m(r−j) ψ X , λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , z j f K ˜
R,ω ).
On sait qu’à ˜
σ est associé un paramètre infinitésimal μ(˜ σ) qui est une orbite dans
h
∗ pour l’action de W
R . Identifions-le à un point de cette orbite. En identifiant
Z(G) à l’algèbre des polynômes sur h
∗
t
∗ , on a l’égalité
I
K ˜
R (˜ σ λ , z j f K ˜
R,ω ) = z j (μ(˜ σ) + λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ).
Posons
(9)
ξ K ˜
R,˜ σ,H (γ, λ) = φ K ˜
R,˜ σ,H (χ X , λ)
+
j=1,...,r
z j (μ(˜ σ) + λ)φ K ˜
R,˜ σ,H (∂ m(r−j) ψ X , λ).
Alors
j=0,...,r
Ψ K ˜
R,˜ σ,H,j (λ) = ξ K ˜
R,˜ σ,H (γ, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω )
et la formule (8) devient celle du (iv) de l’énoncé.
D’après (3) et la définition (9), les fonctions λ → ξ K ˜
R,˜ σ,H (γ, λ) sont de
classe C
m0 . Reprenons la construction en remplaçant l’élément X par un élément
X
voisin de X. Si X
est assez proche de X, on peut utiliser le même . Les
fonctions χ X et ψ X dépendent de X
seulement par translation. En se rappelant
la condition imposée à m, on voit alors que les applications X
→ χ X et X
→
ψ X sont des applications m 0 fois dérivables à valeurs dans C
m1 (u reg ). Pour U ∈
Sym(t
θ ) de degré au plus m 0 , les images de ces applications par ∂ U sont égales
à X
→ ∂ U χ X et X
→ ∂ U ψ X . D’autre part, considérons un ouvert E d’un
espace R
a , b ∈ N un entier et e → ϕ[e] une application b fois dérivable de E
dans C
m1 (u reg ). La majoration (3) entraîne que, pour tous K ˜
R, ˜
σ, H et tout
λ ∈ H, l’application e → φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ[e], λ) est b fois dérivable. Pour un opérateur
différentiel D sur R
a , à coefficients constants et de degré au plus b, l’image par
D de cette application est l’application e → φ K ˜
R,˜ σ,H (Dϕ[e], λ). De cela et de la
formule (9) résulte que X
→ ξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X
)η, λ) est m 0 fois dérivable au point
X et que, pour D ∈ Sym(t
θ ) de degré au plus m 0 , on a l’égalité
(10)
Dξ K ˜
R,˜ σ,H (exp(X)η, λ) = φ K ˜
R,˜ σ,H (Dχ X , λ)
+
j=1,...,r
z j (μ(˜ σ) + λ)φ K ˜
R,˜ σ,H (∂ m(r−j) Dψ X , λ).
Il existe un entier d
> 0 et un réel c 2 > 0 tels que l’on ait une minoration
D
˜
G (exp(Y )η) ≥ c 2 d reg (Y )
d
pour tout Y ∈ u reg . D’après le choix de , δ(Dχ X )