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Chapitre IX. Le cas archimédien
puisque les supports des ϕ k restent dans un compact de u reg . Il résulte alors de la
majoration (4) que la suite (φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ k )) k∈N est de Cauchy dans C
m0 (H). Elle
converge vers un élément de cet espace que l’on note φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ). Les propriétés
de cette application résultent par continuité des propriétés de l’application initiale
définie pour ϕ ∈ C
∞
c (u reg ). On doit juste préciser un point. Pour une suite (ϕ k ) k∈N
tendant vers une fonction ϕ comme ci-dessus, il n’y a pas de raison que δ(ϕ k )
tende vers δ(ϕ). La majoration voulue de Δ H,j φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ) ne résulte pas des
majorations (4) des Δ H,j φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ k , λ). Mais, pour tout ϕ ∈ C
m1
c (u reg ), on peut
choisir une suite (ϕ k ) k∈N d’éléments de C
∞
c (u reg ) tendant vers ϕ et vérifiant de
plus la propriété δ(ϕ k ) ≥ δ(ϕ)/2 pour tout k. En utilisant une telle suite, on
obtient la majoration voulue. Cela prouve (3).
Notons l’élément de Sym(t
θ ) tel que ∂ soit le laplacien relatif à notre
métrique. Puisque Sym(t
θ ) est un module de type fini sur l’image de Z(G) par
l’application d’Harish-Chandra z → z T θ , on a
(5) il existe un entier r ≥ 1 tel que, pour tout entier m ≥ 1, il existe des éléments
z j de Z(G) pour j = 1, . . . , r de sorte que
mr =
j=1,...,r
z j,T θ
m(r−j) .
Notons δ 0 la mesure de Dirac en 0 sur t
θ (R). La théorie des opérateurs
elliptiques implique que
(6) il existe m 2 ∈ N tel que, pour tout m ≥ m 2 /2, il existe une fonction ψ
m de
classe 2m − m 2 sur t
θ (R) et C
∞ sur t
θ (R) − {0} de sorte que
δ 0 = ∂ m ψ
m .
Fixons une fonction α ∈ C
∞
c (u) qui soit constante de valeur 1 au voisinage
de 0. Pour > 0 et m ∈ N, posons ψ
m
(X) = ψ
m (X)α(
−1 X). La fonction ψ
m
est
de classe 2m − m 2 et est à support dans la boule centrée en 0 et de rayon 2c 0 .
On a une égalité
δ 0 = ∂ m ψ
m
+ χ
m
où χ
m
est une fonction C
∞ sur t
θ (R) à support dans la boule centrée en 0 et de
rayon 2c 0 .
Fixons maintenant un élément X ∈ u
reg et un entier m 0 ∈ N. On pose
γ = exp(X)η. Fixons un > 0 tel que
<
c 1
2c 0
d reg (γ)
où c 1 est comme en (2). Fixons un entier m ∈ N tel que 2m > m 0 + m 1 + m 2 où
m 1 et m 2 sont déterminés par (3) et (6). Posons ψ = ψ
mr
et χ = χ
mr
. Pour toute
fonction β sur t
θ (R) et tout X
∈ t
θ (R), définissons β X par β X (Y ) = β(Y − X
)
pour tout Y ∈ t
θ (R). La propriété (2) et le choix de entraînent que ψ X et
Chapitre IX. Le cas archimédien
puisque les supports des ϕ k restent dans un compact de u reg . Il résulte alors de la
majoration (4) que la suite (φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ k )) k∈N est de Cauchy dans C
m0 (H). Elle
converge vers un élément de cet espace que l’on note φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ). Les propriétés
de cette application résultent par continuité des propriétés de l’application initiale
définie pour ϕ ∈ C
∞
c (u reg ). On doit juste préciser un point. Pour une suite (ϕ k ) k∈N
tendant vers une fonction ϕ comme ci-dessus, il n’y a pas de raison que δ(ϕ k )
tende vers δ(ϕ). La majoration voulue de Δ H,j φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ) ne résulte pas des
majorations (4) des Δ H,j φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ k , λ). Mais, pour tout ϕ ∈ C
m1
c (u reg ), on peut
choisir une suite (ϕ k ) k∈N d’éléments de C
∞
c (u reg ) tendant vers ϕ et vérifiant de
plus la propriété δ(ϕ k ) ≥ δ(ϕ)/2 pour tout k. En utilisant une telle suite, on
obtient la majoration voulue. Cela prouve (3).
Notons l’élément de Sym(t
θ ) tel que ∂ soit le laplacien relatif à notre
métrique. Puisque Sym(t
θ ) est un module de type fini sur l’image de Z(G) par
l’application d’Harish-Chandra z → z T θ , on a
(5) il existe un entier r ≥ 1 tel que, pour tout entier m ≥ 1, il existe des éléments
z j de Z(G) pour j = 1, . . . , r de sorte que
mr =
j=1,...,r
z j,T θ
m(r−j) .
Notons δ 0 la mesure de Dirac en 0 sur t
θ (R). La théorie des opérateurs
elliptiques implique que
(6) il existe m 2 ∈ N tel que, pour tout m ≥ m 2 /2, il existe une fonction ψ
m de
classe 2m − m 2 sur t
θ (R) et C
∞ sur t
θ (R) − {0} de sorte que
δ 0 = ∂ m ψ
m .
Fixons une fonction α ∈ C
∞
c (u) qui soit constante de valeur 1 au voisinage
de 0. Pour > 0 et m ∈ N, posons ψ
m
(X) = ψ
m (X)α(
−1 X). La fonction ψ
m
est
de classe 2m − m 2 et est à support dans la boule centrée en 0 et de rayon 2c 0 .
On a une égalité
δ 0 = ∂ m ψ
m
+ χ
m
où χ
m
est une fonction C
∞ sur t
θ (R) à support dans la boule centrée en 0 et de
rayon 2c 0 .
Fixons maintenant un élément X ∈ u
reg et un entier m 0 ∈ N. On pose
γ = exp(X)η. Fixons un > 0 tel que
<
c 1
2c 0
d reg (γ)
où c 1 est comme en (2). Fixons un entier m ∈ N tel que 2m > m 0 + m 1 + m 2 où
m 1 et m 2 sont déterminés par (3) et (6). Posons ψ = ψ
mr
et χ = χ
mr
. Pour toute
fonction β sur t
θ (R) et tout X
∈ t
θ (R), définissons β X par β X (Y ) = β(Y − X
)
pour tout Y ∈ t
θ (R). La propriété (2) et le choix de entraînent que ψ X et