IX.8. L’application ˜
M
1131
Preuve. La preuve d’Arthur [12] p. 198, 199, 200 s’applique. On va la reprendre
car Arthur énonce une majoration plus faible que celle du (ii) de l’énoncé. Notons
u
une boule ouverte centrée en 0 de rayon c 0 assez petit et u la boule de rayon 2c 0 .
Fixons η ∈ ˜
T (R) et posons ˜
U = {(1 − θ)(t) exp(X)η; t ∈ T (R), X ∈ u}. Notons
u reg , resp. u
reg , le sous-ensemble des X ∈ u, resp. X ∈ u
, tels que exp(X)η soit
fortement régulier dans ˜
G. Avec les notations de 8.3, u reg est l’ensemble des X ∈ u
dont le fixateur dans Ξ est trivial, pourvu que c 0 soit assez petit. La propriété
suivante est claire :
(2) il existe c 1 > 0 tel que, pour tout X ∈ u
reg et pour tout Y ∈ t(R), la condition
|X − Y | ≤ c 1 d reg (exp(X)η) implique que Y ∈ u reg et que d reg (exp(Y )η) ≥
d reg (exp(X)η)/2.
L’espace C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv s’identifie à C
∞
c (u reg ). Les fonctions φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ)
de (1) sont donc définies pour ϕ ∈ C
∞
c (u reg ). Pour tout m ∈ N, notons C
m
c (u reg )
l’espace des fonctions de classe C
m sur t
θ (R) dont le support est compact et inclus
dans u reg . Considérons une suite (ϕ i ) i∈N d’éléments de C
m
c (u reg ). On dit qu’elle
tend vers 0 s’il existe un sous-ensemble compact de u reg tel que le support de ϕ i
soit inclus dans ce compact pour tout i et si, pour tout H ∈ Sym(t
θ ) de degré
inférieur ou égal à m, la suite (∂ H ϕ i ) i∈N tend uniformément vers 0. Cela munit
C
m
c (u reg ) d’une topologie. L’application ϕ → δ(ϕ) de 8.3 se définit aussi bien pour
ϕ ∈ C
m
c (u reg ). Pour H intervenant dans (1), notons C
m (H) l’espace des fonctions
de classe C
m sur H. On munit cet espace de la topologie usuelle. Montrons que
(3) pour tout m 0 ∈ N, il existe un entier m 1 ∈ N tel que, pour tous K ˜
R, ˜
σ, H
intervenant dans (1), l’application ϕ → φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ) s’étend par continuité en
une application de C
m1 (u reg ) dans C
m0 (H) ; pour tout opérateur différentiel
à coefficients constants Δ sur H de degré ≤ m 0 , il existe une famille finie
(H i ) i=1,...,n d’éléments de Sym(t
θ ) de degré ≤ m 1 et un entier d ∈ N de sorte
que
|Δφ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ)| ≤ cδ(ϕ)
−d
i=1,...,n
sup
X∈u
|∂ Hi ϕ(X)|
pour tout λ ∈ H et tout ϕ ∈ C
m1 (u reg ) ; ces applications vérifient la propriété
de symétrie 8.4(3) et l’égalité (1) ci-dessus ;
Pour tout H, on fixe une base (Δ H,j ) j=1,...,jH de l’espace des opérateurs
différentiels à coefficients constants sur H de degré ≤ m 0 . En appliquant les majorations déjà prouvées, on voit que l’on peut trouver une famille finie (H i ) i=1,...,n
d’éléments de Sym(t
θ ), un entier d ∈ N et une constante c > 0 de sorte que
(4)
|Δ H,j φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ)| ≤ cδ(ϕ)
−d
i=1,...,n
sup
X∈u
|∂ Hi ϕ(X)|
pour tous K ˜
R, ˜
σ, H, tout j = 1, . . . , j H , tout λ ∈ H et tout ϕ ∈ C
∞
c (u reg ).
Notons m 1 le plus grand des degrés des H i . Quand une suite (ϕ k ) k∈N d’éléments
de C
∞
c (u reg ) tend vers une fonction ϕ ∈ C
m1
c (u reg ), les termes δ(ϕ k ) sont minorés
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Preuve. La preuve d’Arthur [12] p. 198, 199, 200 s’applique. On va la reprendre
car Arthur énonce une majoration plus faible que celle du (ii) de l’énoncé. Notons
u
une boule ouverte centrée en 0 de rayon c 0 assez petit et u la boule de rayon 2c 0 .
Fixons η ∈ ˜
T (R) et posons ˜
U = {(1 − θ)(t) exp(X)η; t ∈ T (R), X ∈ u}. Notons
u reg , resp. u
reg , le sous-ensemble des X ∈ u, resp. X ∈ u
, tels que exp(X)η soit
fortement régulier dans ˜
G. Avec les notations de 8.3, u reg est l’ensemble des X ∈ u
dont le fixateur dans Ξ est trivial, pourvu que c 0 soit assez petit. La propriété
suivante est claire :
(2) il existe c 1 > 0 tel que, pour tout X ∈ u
reg et pour tout Y ∈ t(R), la condition
|X − Y | ≤ c 1 d reg (exp(X)η) implique que Y ∈ u reg et que d reg (exp(Y )η) ≥
d reg (exp(X)η)/2.
L’espace C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv s’identifie à C
∞
c (u reg ). Les fonctions φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ)
de (1) sont donc définies pour ϕ ∈ C
∞
c (u reg ). Pour tout m ∈ N, notons C
m
c (u reg )
l’espace des fonctions de classe C
m sur t
θ (R) dont le support est compact et inclus
dans u reg . Considérons une suite (ϕ i ) i∈N d’éléments de C
m
c (u reg ). On dit qu’elle
tend vers 0 s’il existe un sous-ensemble compact de u reg tel que le support de ϕ i
soit inclus dans ce compact pour tout i et si, pour tout H ∈ Sym(t
θ ) de degré
inférieur ou égal à m, la suite (∂ H ϕ i ) i∈N tend uniformément vers 0. Cela munit
C
m
c (u reg ) d’une topologie. L’application ϕ → δ(ϕ) de 8.3 se définit aussi bien pour
ϕ ∈ C
m
c (u reg ). Pour H intervenant dans (1), notons C
m (H) l’espace des fonctions
de classe C
m sur H. On munit cet espace de la topologie usuelle. Montrons que
(3) pour tout m 0 ∈ N, il existe un entier m 1 ∈ N tel que, pour tous K ˜
R, ˜
σ, H
intervenant dans (1), l’application ϕ → φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ) s’étend par continuité en
une application de C
m1 (u reg ) dans C
m0 (H) ; pour tout opérateur différentiel
à coefficients constants Δ sur H de degré ≤ m 0 , il existe une famille finie
(H i ) i=1,...,n d’éléments de Sym(t
θ ) de degré ≤ m 1 et un entier d ∈ N de sorte
que
|Δφ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ)| ≤ cδ(ϕ)
−d
i=1,...,n
sup
X∈u
|∂ Hi ϕ(X)|
pour tout λ ∈ H et tout ϕ ∈ C
m1 (u reg ) ; ces applications vérifient la propriété
de symétrie 8.4(3) et l’égalité (1) ci-dessus ;
Pour tout H, on fixe une base (Δ H,j ) j=1,...,jH de l’espace des opérateurs
différentiels à coefficients constants sur H de degré ≤ m 0 . En appliquant les majorations déjà prouvées, on voit que l’on peut trouver une famille finie (H i ) i=1,...,n
d’éléments de Sym(t
θ ), un entier d ∈ N et une constante c > 0 de sorte que
(4)
|Δ H,j φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ)| ≤ cδ(ϕ)
−d
i=1,...,n
sup
X∈u
|∂ Hi ϕ(X)|
pour tous K ˜
R, ˜
σ, H, tout j = 1, . . . , j H , tout λ ∈ H et tout ϕ ∈ C
∞
c (u reg ).
Notons m 1 le plus grand des degrés des H i . Quand une suite (ϕ k ) k∈N d’éléments
de C
∞
c (u reg ) tend vers une fonction ϕ ∈ C
m1
c (u reg ), les termes δ(ϕ k ) sont minorés