1130
Chapitre IX. Le cas archimédien
tout K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ), toute composante connexe ˜
R de K ˜
R, tout ˜
σ ∈ E ell,0 ( ˜
R, ω),
l’ensemble H
˜
G
˜
R
(˜ σ) de 8.4 est contenu dans l’ensemble H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ) de 8.6. Pour ˜
M , ˜
T
et ˜
U comme en 8.6, la conjonction des propositions 8.4 et 8.6 entraîne le résultat
suivant. Pour tout ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv , il existe une unique famille
(φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ)) K ˜
R∈L(K ˜
M0),˜ σ∈E ell,0 (K ˜
R,ω),H∈H K ˜
G
K ˜
R
(˜ σ)
vérifiant les conditions (i), (ii) et (iii) de 8.4 ainsi que :
(1) pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K), on a l’égalité
˜
T (R)/(1−θ)(T (R))
ϕ(γ)I
K ˜
M (γ, ω, , K ˜
M (f )) dγ
=
K ˜
R∈L( ˜
M0)
˜
σ∈E ell,0 (K ˜
R,ω)
H∈H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ)
H
φ K ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ) dλ.
On a muni l’espace t
θ (R) d’une norme euclidienne. On définit une fonction
d reg : ˜
T (R) ∩ ˜
G reg (R) → R >0 : pour γ ∈ ˜
T (R) ∩ ˜
G reg (R), d reg (γ) est la borne
inférieure de l’ensemble des normes |Y | pour Y ∈ t
θ (R) tel que exp(Y )γ ne soit
pas fortement régulier.
Proposition. Pour tout K ˜
R ∈L(K ˜
M 0 ), tout ˜
σ ∈E ell,0 (K ˜
R,ω), tout H ∈H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ),
il existe une unique fonction ξ K ˜
R,˜ σ,H sur ( ˜
T (R) ∩ ˜
G reg (R)) × H de sorte que les
conditions suivantes soient vérifiées. Dans les deux premières, on fixe K ˜
R, ˜
σ et H.
(i) La fonction ξ K ˜
R,˜ σ,H est C
∞ sur ( ˜
T (R) ∩ ˜
G reg (R)) × H ;
(ii) Pour tout opérateur différentiel D ∈ Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv , tout opérateur différentiel Δ à coefficients constants sur H et tout sous-ensemble compact
Γ ⊂ ˜
T (R), il existe d, N ∈ N et une constante c > 0 de sorte que
|DΔξ K ˜
R,˜ σ,H (γ, λ)| ≤ cd reg (γ)
−d (1 + |λ|)
N
pour tout γ ∈ Γ ∩ ˜
G reg (R) et tout λ ∈ H.
(iii) La famille vérifie la condition de symétrie (2) de 8.4.
(iv) Pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) et tout γ ∈ ˜
T (R) ∩ ˜
G reg (R), on a l’égalité
I
K ˜
M (γ, ω, , K ˜
M (f )) =
K ˜
R∈L(K ˜
M0)
˜
σ∈E ell,0 ( ˜
R,ω)
H∈H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ)
H
ξ K ˜
R,˜ σ,H (γ, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ) dλ.