IX.8. L’application ˜
M
1129
où
ϕ j (exp(Y ) j,1 ) = cΔ j,1 (exp(Y ) j,1 , exp(ξ
−1
j (Y ))η)
−1 ϕ(exp(ξ
−1
j (Y ))η).
Pour chaque j, on peut appliquer la proposition 8.5. Certes, il faut l’adapter à la
situation des données auxiliaires où l’on considère des fonctions se transformant
selon le caractère λ j,1 de C 1 (R). On laisse ces détails techniques. Remarquons que
la fonction ϕ j est C
∞ car le facteur de transfert l’est sur l’ensemble des éléments
fortement réguliers. Le résultat est que le terme indexé par j dans la somme cidessus s’exprime sous la forme
˜
R
j ∈L
˜
G
j ( ˜
M
j )
˜
σ ∈B st (R
j )
H∈SH
˜
G
j
˜
R
j
(˜ σ )
H
Sφ R ,˜ σ ,H (ϕ j , λ)S
R
j (˜ σ
λ , (f
G
j ) R
j
) dλ.
On a utilisé la notation R
j : comme toujours, l’espace ˜
R
j apparaît comme l’espace
d’une donnée endoscopique R
j d’un K-espace de Levi K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ). La démonstration se poursuit alors comme celle de 8.5. Fixons ˜
R
j intervenant ci-dessus. On
identifie A
∗
˜
R
j
à A
∗
˜
R
. Pour chaque ˜
σ
intervenant, l’ensemble SH
˜
G
j
˜
R
j
(˜ σ
) s’identifie à
un ensemble de sous-espaces affines de iA ˜
R . On écrit
transfert(˜ σ
λ ) =
˜
σ∈E(K ˜
R,ω)
c ˜
σ ,˜ σ ˜
σ λ .
Alors
H
Sφ R ,˜ σ ,H (ϕ j , λ)S
R
j (˜ σ
λ , (f
G
j ) R
j
) dλ
=
˜
σ∈E(K ˜
R,ω)
c ˜
σ ,˜ σ
H
Sφ R ,˜ σ ,H (ϕ j , λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ) dλ.
Pour chaque ˜
σ, il n’y a qu’un nombre fini de ˜
σ
pour lesquels c ˜
σ ,˜ σ = 0. En sommant les expressions obtenues, on obtient finalement une expression du membre de
gauche de (iv) de la forme voulue. Les familles de sous-espaces affines dépendent
des données M
j choisies, mais on peut supposer que celles-ci appartiennent à un
ensemble fini de représentants des classes d’équivalence de données endoscopiques
elliptiques pour (KM, K ˜
M, a). Donc ces sous-espaces affines restent dans un ensemble fini.
Parce que le facteur de transfert Δ j,1 (exp(Y ) j,1 , exp(ξ
−1
j (Y ))η) est C
∞ en
Y , on voit facilement que les fonctions Sφ R ,˜ σ ,H (ϕ j , λ) vérifient les majorations
souhaitées. Cela achève la démonstration.
IX.8.7 Expression de K ˜
M (f )
La proposition 8.4 s’adapte évidemment aux K-espaces. Puisque l’on peut toujours accroître nos familles de sous-espaces affines, on peut supposer que, pour
M
1129
où
ϕ j (exp(Y ) j,1 ) = cΔ j,1 (exp(Y ) j,1 , exp(ξ
−1
j (Y ))η)
−1 ϕ(exp(ξ
−1
j (Y ))η).
Pour chaque j, on peut appliquer la proposition 8.5. Certes, il faut l’adapter à la
situation des données auxiliaires où l’on considère des fonctions se transformant
selon le caractère λ j,1 de C 1 (R). On laisse ces détails techniques. Remarquons que
la fonction ϕ j est C
∞ car le facteur de transfert l’est sur l’ensemble des éléments
fortement réguliers. Le résultat est que le terme indexé par j dans la somme cidessus s’exprime sous la forme
˜
R
j ∈L
˜
G
j ( ˜
M
j )
˜
σ ∈B st (R
j )
H∈SH
˜
G
j
˜
R
j
(˜ σ )
H
Sφ R ,˜ σ ,H (ϕ j , λ)S
R
j (˜ σ
λ , (f
G
j ) R
j
) dλ.
On a utilisé la notation R
j : comme toujours, l’espace ˜
R
j apparaît comme l’espace
d’une donnée endoscopique R
j d’un K-espace de Levi K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ). La démonstration se poursuit alors comme celle de 8.5. Fixons ˜
R
j intervenant ci-dessus. On
identifie A
∗
˜
R
j
à A
∗
˜
R
. Pour chaque ˜
σ
intervenant, l’ensemble SH
˜
G
j
˜
R
j
(˜ σ
) s’identifie à
un ensemble de sous-espaces affines de iA ˜
R . On écrit
transfert(˜ σ
λ ) =
˜
σ∈E(K ˜
R,ω)
c ˜
σ ,˜ σ ˜
σ λ .
Alors
H
Sφ R ,˜ σ ,H (ϕ j , λ)S
R
j (˜ σ
λ , (f
G
j ) R
j
) dλ
=
˜
σ∈E(K ˜
R,ω)
c ˜
σ ,˜ σ
H
Sφ R ,˜ σ ,H (ϕ j , λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ) dλ.
Pour chaque ˜
σ, il n’y a qu’un nombre fini de ˜
σ
pour lesquels c ˜
σ ,˜ σ = 0. En sommant les expressions obtenues, on obtient finalement une expression du membre de
gauche de (iv) de la forme voulue. Les familles de sous-espaces affines dépendent
des données M
j choisies, mais on peut supposer que celles-ci appartiennent à un
ensemble fini de représentants des classes d’équivalence de données endoscopiques
elliptiques pour (KM, K ˜
M, a). Donc ces sous-espaces affines restent dans un ensemble fini.
Parce que le facteur de transfert Δ j,1 (exp(Y ) j,1 , exp(ξ
−1
j (Y ))η) est C
∞ en
Y , on voit facilement que les fonctions Sφ R ,˜ σ ,H (ϕ j , λ) vérifient les majorations
souhaitées. Cela achève la démonstration.
IX.8.7 Expression de K ˜
M (f )
La proposition 8.4 s’adapte évidemment aux K-espaces. Puisque l’on peut toujours accroître nos familles de sous-espaces affines, on peut supposer que, pour