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Chapitre IX. Le cas archimédien
(iv) pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K), on a l’égalité
˜
T (R)/(1−θ)(T (R))
ϕ(γ)I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, ω, f ) dγ
=
K ˜
R∈L(K ˜
M0)
˜
σ∈E ell,0 (K ˜
R,ω)
H∈H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ)
H
φ
E
K ˜
R,˜ σ,H
(ϕ, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ) dλ.
Preuve. On affirme l’existence de familles d’espaces affines indépendantes de ˜
M et
˜
T . Mais, si on démontre pour chaque couple ( ˜
M , ˜
T ) l’existence d’une telle famille
vérifiant les conditions requises pour ce couple, il suffit de prendre la réunion de ces
familles sur l’ensemble des couples ( ˜
M , ˜
T ) pris à conjugaison près pour résoudre
le problème. De même, on peut négliger les conditions d’invariance par W ( ˜
M 0 ) :
si on résout le problème sans ces conditions, on peut ensuite accroître les familles
d’espaces affines de sorte à les rendre symétriques et symétriser les familles
(φ
E
K ˜
R,˜ σ,H
(ϕ)) K ˜
R∈L(K ˜
M0),˜ σ∈E ell,0 (K ˜
R,ω),H∈H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ)
.
Fixons donc ˜
M , ˜
T et ˜
U . On peut supposer comme dans la preuve de 8.3 que
˜
U = {x
−1 exp(X)ηx; X ∈ u, x ∈ Norm G ( ˜
T ; R)}, où η est un élément fixé de ˜
T (R)
et u est un voisinage de 0 dans t
θ (R), assez petit. Soit f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) et
ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv . Le membre de gauche de (iv) est égal à
u
ϕ(exp(X)η)I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ) dX.
Ici comme dans la suite, les mesures doivent être convenablement normalisées pour
que la formule soit exacte, mais ces normalisations importent peu puisqu’on ne
se propose pas de calculer explicitement les fonctions φ
E
K ˜
R,˜ σ,H
(ϕ). On reprend
les constructions et notations de 4.4. La formule (1) de ce paragraphe entraîne
l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ) = c
j∈J
Δ j,1 (exp(ξ j (X)) j,1 , exp(X)η)
−1
S
˜
G
j,1
˜
M
j,1 ,λj,1
(exp(ξ j (X)) j,1 , f
˜
G
j,1 ),
où c est une constante non nulle. Pour chaque j ∈ J, posons u j = ξ j (u). Le membre
de gauche de (iv) est donc
j∈J
uj
ϕ j (exp(Y ) j,1 )S
˜
G
j,1
˜
M
j,1 ,λj,1
(exp(Y )) j,1 , f
˜
G
j,1 ) dY,
Chapitre IX. Le cas archimédien
(iv) pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K), on a l’égalité
˜
T (R)/(1−θ)(T (R))
ϕ(γ)I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, ω, f ) dγ
=
K ˜
R∈L(K ˜
M0)
˜
σ∈E ell,0 (K ˜
R,ω)
H∈H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ)
H
φ
E
K ˜
R,˜ σ,H
(ϕ, λ)I
K ˜
R (˜ σ λ , f K ˜
R,ω ) dλ.
Preuve. On affirme l’existence de familles d’espaces affines indépendantes de ˜
M et
˜
T . Mais, si on démontre pour chaque couple ( ˜
M , ˜
T ) l’existence d’une telle famille
vérifiant les conditions requises pour ce couple, il suffit de prendre la réunion de ces
familles sur l’ensemble des couples ( ˜
M , ˜
T ) pris à conjugaison près pour résoudre
le problème. De même, on peut négliger les conditions d’invariance par W ( ˜
M 0 ) :
si on résout le problème sans ces conditions, on peut ensuite accroître les familles
d’espaces affines de sorte à les rendre symétriques et symétriser les familles
(φ
E
K ˜
R,˜ σ,H
(ϕ)) K ˜
R∈L(K ˜
M0),˜ σ∈E ell,0 (K ˜
R,ω),H∈H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ)
.
Fixons donc ˜
M , ˜
T et ˜
U . On peut supposer comme dans la preuve de 8.3 que
˜
U = {x
−1 exp(X)ηx; X ∈ u, x ∈ Norm G ( ˜
T ; R)}, où η est un élément fixé de ˜
T (R)
et u est un voisinage de 0 dans t
θ (R), assez petit. Soit f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) et
ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv . Le membre de gauche de (iv) est égal à
u
ϕ(exp(X)η)I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ) dX.
Ici comme dans la suite, les mesures doivent être convenablement normalisées pour
que la formule soit exacte, mais ces normalisations importent peu puisqu’on ne
se propose pas de calculer explicitement les fonctions φ
E
K ˜
R,˜ σ,H
(ϕ). On reprend
les constructions et notations de 4.4. La formule (1) de ce paragraphe entraîne
l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η, ω, f ) = c
j∈J
Δ j,1 (exp(ξ j (X)) j,1 , exp(X)η)
−1
S
˜
G
j,1
˜
M
j,1 ,λj,1
(exp(ξ j (X)) j,1 , f
˜
G
j,1 ),
où c est une constante non nulle. Pour chaque j ∈ J, posons u j = ξ j (u). Le membre
de gauche de (iv) est donc
j∈J
uj
ϕ j (exp(Y ) j,1 )S
˜
G
j,1
˜
M
j,1 ,λj,1
(exp(Y )) j,1 , f
˜
G
j,1 ) dY,