IX.8. L’application ˜
M
1127
D’après leur construction, les fonctions φ ˜
R,˜ σ,H (ϕ) vérifient les propriétés (i) et (ii)
de la proposition 8.3. On doit remarquer que, dans les majorations de φ
s
˜
R,˜ σ,H
(ϕ),
il intervient un terme δ
˜
G
(s) (ϕ) analogue à δ(ϕ) quand on remplace ˜
G par ˜
G
(s).
Mais ce terme est minoré par le produit de δ(ϕ) et d’une constante indépendante
de ϕ.
On décompose l’expression (6) en une somme de deux expressions J
st (ϕ, f )
et J
inst (ϕ, f ). Dans la première, resp. la seconde, on regroupe les contributions des
˜
σ ∈ B
st ( ˜
R), resp. ˜
σ ∈ B
inst ( ˜
R). Pour ˜
σ ∈ B
st ( ˜
R), on a par définition I
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R ) =
S
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R ). Donc J
st (ϕ, f ) est de la forme du membre de droite du (iii) de l’énoncé.
Pour démontrer la proposition, il reste à prouver que J
inst (ϕ, f ) = 0. On a décomposé l’espace de Paley–Wiener en P W
st,∞ ( ˜
G) ⊕ P W
inst,∞ ( ˜
G), cf. [IV] 2.4. Il
résulte des définitions que J
st (ϕ, f ) ne dépend que de la projection de pw(f ) sur
P W
st,∞ ( ˜
G), tandis que J
inst (ϕ, f ) ne dépend que de la projection de pw(f ) sur
P W
inst,∞ ( ˜
G). Mais on sait que les intégrales orbitales pondérées f → S
˜
G
˜
M
(δ, f )
sont stables ([V] théorème 1.4). Donc le membre de gauche de (iii) est stable.
Soit f
l’élément de I( ˜
G(R)) tel que pw(f
) soit égal à la projection de pw(f )
sur P W
st,∞ ( ˜
G). La fonction f
est encore K-finie. Le membre de gauche pour f
est alors égal au même membre pour f
. Puisque ces termes sont calculés par la
formule (6), on obtient
J
st (ϕ, f ) + J
inst (ϕ, f ) = J
st (ϕ, f
) + J
inst (ϕ, f
).
Par construction de f
, on a J
st (ϕ, f ) = J
st (ϕ, f
) tandis que J
inst (ϕ, f
) = 0.
Cela entraîne J
inst (ϕ, f ) = 0. Comme on l’a dit, cela prouve la proposition.
IX.8.6 Version endoscopique de la proposition 8.4
On considère ici un triplet (KG, K ˜
G, a) et un K-espace K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ). On fixe
une composante connexe ˜
M de K ˜
M , contenue dans une composante ˜
G de K ˜
G,
un sous-tore tordu maximal elliptique ˜
T de ˜
M et un ensemble ˜
U ⊂ ˜
T (R) vérifiant
les mêmes propriétés qu’en 8.4.
Proposition. Pour tout K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ) et tout ˜
σ ∈ E ell,0 (K ˜
R, ω), il existe un
ensemble fini H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ) de sous-espaces affines de iA
∗
˜
R
vérifiant les conditions
suivantes.
(1) Pour w ∈ W (K ˜
M 0 ), w(H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ)) = H
K ˜
G,E
w(K ˜
R)
(˜ σ w ), où on a posé w(˜ σ) =
z w ˜
σ w comme en 8.4.
(2) Pour tous ˜
M , ˜
T , U comme ci-dessus et pour tout ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv , il
existe une unique famille
(φ
E
K ˜
R,˜ σ,H
(ϕ)) K ˜
R∈L(K ˜
M0),˜ σ∈E ell,0 (K ˜
R,ω),H∈H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ)
vérifiant les conditions (i), (ii) et (iii) de la proposition 8.4 ainsi que
M
1127
D’après leur construction, les fonctions φ ˜
R,˜ σ,H (ϕ) vérifient les propriétés (i) et (ii)
de la proposition 8.3. On doit remarquer que, dans les majorations de φ
s
˜
R,˜ σ,H
(ϕ),
il intervient un terme δ
˜
G
(s) (ϕ) analogue à δ(ϕ) quand on remplace ˜
G par ˜
G
(s).
Mais ce terme est minoré par le produit de δ(ϕ) et d’une constante indépendante
de ϕ.
On décompose l’expression (6) en une somme de deux expressions J
st (ϕ, f )
et J
inst (ϕ, f ). Dans la première, resp. la seconde, on regroupe les contributions des
˜
σ ∈ B
st ( ˜
R), resp. ˜
σ ∈ B
inst ( ˜
R). Pour ˜
σ ∈ B
st ( ˜
R), on a par définition I
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R ) =
S
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R ). Donc J
st (ϕ, f ) est de la forme du membre de droite du (iii) de l’énoncé.
Pour démontrer la proposition, il reste à prouver que J
inst (ϕ, f ) = 0. On a décomposé l’espace de Paley–Wiener en P W
st,∞ ( ˜
G) ⊕ P W
inst,∞ ( ˜
G), cf. [IV] 2.4. Il
résulte des définitions que J
st (ϕ, f ) ne dépend que de la projection de pw(f ) sur
P W
st,∞ ( ˜
G), tandis que J
inst (ϕ, f ) ne dépend que de la projection de pw(f ) sur
P W
inst,∞ ( ˜
G). Mais on sait que les intégrales orbitales pondérées f → S
˜
G
˜
M
(δ, f )
sont stables ([V] théorème 1.4). Donc le membre de gauche de (iii) est stable.
Soit f
l’élément de I( ˜
G(R)) tel que pw(f
) soit égal à la projection de pw(f )
sur P W
st,∞ ( ˜
G). La fonction f
est encore K-finie. Le membre de gauche pour f
est alors égal au même membre pour f
. Puisque ces termes sont calculés par la
formule (6), on obtient
J
st (ϕ, f ) + J
inst (ϕ, f ) = J
st (ϕ, f
) + J
inst (ϕ, f
).
Par construction de f
, on a J
st (ϕ, f ) = J
st (ϕ, f
) tandis que J
inst (ϕ, f
) = 0.
Cela entraîne J
inst (ϕ, f ) = 0. Comme on l’a dit, cela prouve la proposition.
IX.8.6 Version endoscopique de la proposition 8.4
On considère ici un triplet (KG, K ˜
G, a) et un K-espace K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ). On fixe
une composante connexe ˜
M de K ˜
M , contenue dans une composante ˜
G de K ˜
G,
un sous-tore tordu maximal elliptique ˜
T de ˜
M et un ensemble ˜
U ⊂ ˜
T (R) vérifiant
les mêmes propriétés qu’en 8.4.
Proposition. Pour tout K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ) et tout ˜
σ ∈ E ell,0 (K ˜
R, ω), il existe un
ensemble fini H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ) de sous-espaces affines de iA
∗
˜
R
vérifiant les conditions
suivantes.
(1) Pour w ∈ W (K ˜
M 0 ), w(H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ)) = H
K ˜
G,E
w(K ˜
R)
(˜ σ w ), où on a posé w(˜ σ) =
z w ˜
σ w comme en 8.4.
(2) Pour tous ˜
M , ˜
T , U comme ci-dessus et pour tout ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv , il
existe une unique famille
(φ
E
K ˜
R,˜ σ,H
(ϕ)) K ˜
R∈L(K ˜
M0),˜ σ∈E ell,0 (K ˜
R,ω),H∈H
K ˜
G,E
K ˜
R
(˜ σ)
vérifiant les conditions (i), (ii) et (iii) de la proposition 8.4 ainsi que