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Chapitre IX. Le cas archimédien
Comme toujours, f
G
(s)
R (s) = (f ˜
R )
R
(s) , d’où
S
R
(s) (˜ σ
λ , (f
G
(s) ) R (s) ) = I
˜
R (transfert(˜ σ
λ ), f ˜
R ).
On peut identifier H
à un sous-espace affine de iA
∗
˜
R
. On peut aussi écrire
transfert(˜ σ
λ ) =
˜
σ∈B( ˜
R)
c ˜
σ ,˜ σ ˜
σ λ ,
avec des coefficients c ˜
σ ,˜ σ nuls pour presque tout ˜
σ. L’intégrale intervenant cidessus est alors
˜
σ∈B( ˜
R)
c ˜
σ ,˜ σ
H
Sφ R (s),˜ σ ,H (ϕ, λ)I
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R ) dλ.
Les propriétés de finitude du transfert assurent que, pour tout ˜
σ, il n’existe
qu’un nombre fini de ˜
σ
tels que c ˜
σ ,˜ σ = 0. Pour ˜
σ ∈ B( ˜
R), posons H
˜
G,s
˜
R
(˜ σ) =
∪ ˜
σ ∈B st (R (s)),c ˜
σ ,˜ σ =0 SH
G
(s)
R (s) (˜ σ
). Pour H ∈ H
˜
G,s
˜
R
(˜ σ), posons
φ
s
˜
R,˜ σ,H
(ϕ) =
˜
σ ∈B st (R (s)),H∈SH
G (s)
R (s)
(˜ σ )
c ˜
σ ,˜ σ Sφ R (s),˜ σ ,H (ϕ).
Ces définitions valent pour ˜
R ∈ L( ˜
M ) tel que R
(s) soit elliptique. Pour ˜
R tel
que R
(s) n’est pas elliptique, on pose H
˜
G,s
˜
R
(˜ σ) = ∅ pour tout ˜
σ ∈ B( ˜
R). Alors
l’expression (2) s’écrit
(5)
−i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
˜
R∈L( ˜
M0)
˜
σ∈B( ˜
R)
H∈H
˜
G,s
˜
R
(˜ σ)
H
φ
s
˜
R,˜ σ,H
(ϕ, λ)I
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R ) dλ.
On peut accroître les ensembles H
˜
G,0
˜
R
(˜ σ) et H
˜
G,s
˜
R
(˜ σ) intervenant dans (4) et (5),
quitte à introduire des fonctions nulles φ
0
˜
R,˜ σ,H
(ϕ) ou φ
s
˜
R,˜ σ,H
(ϕ). Dans un premier
temps, on peut donc remplacer chacun de ces ensembles par leur réunion. On
obtient ainsi un ensemble qui, a priori, dépend de ˜
M . On peut de nouveau accroître
nos ensembles en les remplaçant par la réunion sur les ˜
M ∈ L
˜
R ( ˜
M 0 ) des ensembles
relatifs à ˜
M . On obtient un ensemble SH
˜
G
˜
R
(˜ σ) qui ne dépend plus de ˜
M . Pour
H ∈ SH
˜
G
˜
R
(˜ σ), posons
Sφ ˜
R,˜ σ,H (ϕ) = φ
0
˜
R,˜ σ,H
(ϕ) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))φ
s
˜
R,˜ σ,H
(ϕ).
On obtient que le membre de gauche de l’égalité (iii) de l’énoncé est égal à
(6)
˜
R∈L( ˜
M0)
˜
σ∈B( ˜
R)
H∈SH
˜
G
˜
R
(˜ σ)
H
Sφ ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ)I
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R ) dλ.