IX.8. L’application ˜
M
1125
pour tout δ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R). Soit f ∈ I( ˜
G(R), K). Le membre de gauche de l’égalité
(iii) est la somme de
(1)
˜
T (R)
ϕ(δ)
x∈X
I
˜
G
˜
M
(x
−1 δx, f ) dδ
et de la somme sur s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R , s = 1, de
(2)
−i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
˜
T (R)
ϕ(δ)S
G
(s)
M
(δ, f
G
(s) ) dδ.
Un changement de variables transforme (1) en
x∈X
˜
T (R)
ϕ(xδx
−1 )I
˜
G
˜
M
(δ, f ) dδ.
Grâce à la proposition précédente, ce terme s’écrit sous la forme
(3)
˜
R∈L( ˜
M0)
˜
σ ∈E ell,0 ( ˜
R)
H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ )
x∈X
H
φ ˜
R,˜ σ ,H (ad x −1 (ϕ), λ)I
˜
R (˜ σ
λ , f ˜
R ) dλ.
Fixons ˜
R et introduisons la matrice de changement de base reliant les deux
bases E ell,0 ( ˜
R) et B( ˜
R). C’est-à-dire que, pour ˜
σ
∈ E ell,0 ( ˜
R), on écrit ˜
σ
=
˜
σ∈B( ˜
R) c ˜
σ ,˜ σ ˜
σ. Pour ˜
σ
fixé, il n’y a qu’un nombre fini de ˜
σ tels que c ˜
σ ,˜ σ = 0.
Les propriétés des bases entraînent que, dans l’autre sens, pour ˜
σ fixé, il n’y a
qu’un nombre fini de ˜
σ
tels que c ˜
σ ,˜ σ = 0. Pour ˜
σ ∈ B( ˜
R), posons H
˜
G,0
˜
R
(˜ σ) =
∪ ˜
σ ∈E ell,0 ( ˜
R),c ˜
σ ,˜ σ =0 H
˜
G
˜
R
(˜ σ
). Pour H ∈ H
˜
G,0
˜
R
(˜ σ), posons
φ
0
˜
R,˜ σ,H
(ϕ) =
x∈X
˜
σ ∈E ell,0 ( ˜
R),H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ )
c ˜
σ ,˜ σ φ ˜
R,˜ σ ,H (ad x −1 (ϕ)).
On transforme facilement l’expression (3) en
(4)
˜
R∈L( ˜
M0)
˜
σ∈B( ˜
R)
H∈H
˜
G,0
˜
R
(˜ σ)
H
φ
0
˜
R,˜ σ,H
(ϕ, λ)I
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R ) dλ.
Fixons s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R tel que s = 1 et i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) = 0. Par récurrence, le terme (2) s’écrit comme une multiple somme. L’un des indices est un
espace de Levi ˜
R
s ∈ L
˜
G
(s) ( ˜
M ). Comme on le sait, un tel espace est associé à une
donnée endoscopique elliptique R
(s) d’un espace de Levi ˜
R ∈ L( ˜
M ). L’espace ˜
R
s
étant fixé, la somme intérieure est
−i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
˜
σ ∈B st (R (s))
H ∈SH
G (s)
R (s)
(˜ σ )
H ∈SH
G (s)
R (s)
(˜ σ )
Sφ R (s),˜ σ ,H (ϕ, λ)S
R
(s) (˜ σ
λ , (f
G
(s) ) R (s) ) dλ.
M
1125
pour tout δ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R). Soit f ∈ I( ˜
G(R), K). Le membre de gauche de l’égalité
(iii) est la somme de
(1)
˜
T (R)
ϕ(δ)
x∈X
I
˜
G
˜
M
(x
−1 δx, f ) dδ
et de la somme sur s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R , s = 1, de
(2)
−i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
˜
T (R)
ϕ(δ)S
G
(s)
M
(δ, f
G
(s) ) dδ.
Un changement de variables transforme (1) en
x∈X
˜
T (R)
ϕ(xδx
−1 )I
˜
G
˜
M
(δ, f ) dδ.
Grâce à la proposition précédente, ce terme s’écrit sous la forme
(3)
˜
R∈L( ˜
M0)
˜
σ ∈E ell,0 ( ˜
R)
H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ )
x∈X
H
φ ˜
R,˜ σ ,H (ad x −1 (ϕ), λ)I
˜
R (˜ σ
λ , f ˜
R ) dλ.
Fixons ˜
R et introduisons la matrice de changement de base reliant les deux
bases E ell,0 ( ˜
R) et B( ˜
R). C’est-à-dire que, pour ˜
σ
∈ E ell,0 ( ˜
R), on écrit ˜
σ
=
˜
σ∈B( ˜
R) c ˜
σ ,˜ σ ˜
σ. Pour ˜
σ
fixé, il n’y a qu’un nombre fini de ˜
σ tels que c ˜
σ ,˜ σ = 0.
Les propriétés des bases entraînent que, dans l’autre sens, pour ˜
σ fixé, il n’y a
qu’un nombre fini de ˜
σ
tels que c ˜
σ ,˜ σ = 0. Pour ˜
σ ∈ B( ˜
R), posons H
˜
G,0
˜
R
(˜ σ) =
∪ ˜
σ ∈E ell,0 ( ˜
R),c ˜
σ ,˜ σ =0 H
˜
G
˜
R
(˜ σ
). Pour H ∈ H
˜
G,0
˜
R
(˜ σ), posons
φ
0
˜
R,˜ σ,H
(ϕ) =
x∈X
˜
σ ∈E ell,0 ( ˜
R),H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ )
c ˜
σ ,˜ σ φ ˜
R,˜ σ ,H (ad x −1 (ϕ)).
On transforme facilement l’expression (3) en
(4)
˜
R∈L( ˜
M0)
˜
σ∈B( ˜
R)
H∈H
˜
G,0
˜
R
(˜ σ)
H
φ
0
˜
R,˜ σ,H
(ϕ, λ)I
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R ) dλ.
Fixons s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R tel que s = 1 et i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) = 0. Par récurrence, le terme (2) s’écrit comme une multiple somme. L’un des indices est un
espace de Levi ˜
R
s ∈ L
˜
G
(s) ( ˜
M ). Comme on le sait, un tel espace est associé à une
donnée endoscopique elliptique R
(s) d’un espace de Levi ˜
R ∈ L( ˜
M ). L’espace ˜
R
s
étant fixé, la somme intérieure est
−i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
˜
σ ∈B st (R (s))
H ∈SH
G (s)
R (s)
(˜ σ )
H ∈SH
G (s)
R (s)
(˜ σ )
Sφ R (s),˜ σ ,H (ϕ, λ)S
R
(s) (˜ σ
λ , (f
G
(s) ) R (s) ) dλ.