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Chapitre IX. Le cas archimédien
Il en résulte que, pour tout D ∈ Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv , il existe c > 0 tel que
sup
γ∈ ˜
U
|Dφ
˜
G
˜
R
(f ϕ ; γ)| ≤ c sup
γ∈ ˜
U
|Dϕ(γ)|
pour tout ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω). On en déduit que le terme I
˜
R
˜
L
(˜ π λ , φ
˜
G
˜
R
(f ϕ )) vérifie une
majoration comme dans le (ii) de l’énoncé. Alors l’égalité (6) entraîne une telle
majoration pour I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ). Cela achève la démonstration.
IX.8.5 Stabilisation de la formule précédente
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On considère un espace
de Levi ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ), un sous-tore tordu ˜
T de ˜
M maximal et elliptique et un
ensemble ˜
U ⊂ ˜
T (R). On suppose ˜
U ouvert et d’adhérence compacte. Pour tout
espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ), on fixe une base B( ˜
L) de D ell,0 ( ˜
L), possédant les
propriétés de [IV] 2.2. En particulier, elle est réunion de bases B( ˜
L, μ) des sousespaces D ell,0,μ ( ˜
L), pour tout paramètre infinitésimal μ. On suppose de plus que,
pour tout μ, B( ˜
L, μ) est réunion de bases B
st ( ˜
L, μ) de D
st
ell,0,μ ( ˜
L) et B
inst ( ˜
L, μ)
de D
inst
ell,0,μ ( ˜
L). La base B( ˜
L) elle-même est donc réunion de B
st ( ˜
L) et B
inst ( ˜
L).
Proposition. Pour tout espace de Levi ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) et tout ˜
σ ∈ B
st ( ˜
R), il existe un
ensemble fini SH
˜
G
˜
R
(˜ σ) de sous-espaces affines de iA
∗
˜
R
de sorte que les propriétés
suivantes soient vérifiées pour tous ˜
M , ˜
T , ˜
U comme ci-dessus. Pour tout ϕ ∈
C
∞
c ( ˜
U reg ), il existe une famille
(Sφ ˜
R,˜ σ,H (ϕ)) ˜
R∈L( ˜
M0),˜ σ∈B st ( ˜
R),H∈SH
˜
G
˜
R
(˜ σ)
vérifiant les conditions (i) et (ii) de la proposition précédente ainsi que
(iii) pour tout f ∈ SI( ˜
G(R), K), on a l’égalité
˜
T (R)
ϕ(δ)S
˜
G
˜
M
(δ, f ) dδ
=
˜
R∈L( ˜
M0)
˜
σ∈B st ( ˜
R)
H∈SH
˜
G
˜
R
(˜ σ)
H
Sφ ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ)S
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R ) dλ.
Preuve. Fixons un ensemble de représentants X de l’ensemble de doubles classes
T \{x ∈ M ; ∀σ ∈ Γ R , xσ(x)
−1
∈ T }/M (R).
Pour ψ ∈ C
∞
c ( ˜
M (R)), on a l’égalité
S
˜
M (δ, ψ) =
x∈X
I
˜
M (x
−1 δx, ψ)
Chapitre IX. Le cas archimédien
Il en résulte que, pour tout D ∈ Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv , il existe c > 0 tel que
sup
γ∈ ˜
U
|Dφ
˜
G
˜
R
(f ϕ ; γ)| ≤ c sup
γ∈ ˜
U
|Dϕ(γ)|
pour tout ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω). On en déduit que le terme I
˜
R
˜
L
(˜ π λ , φ
˜
G
˜
R
(f ϕ )) vérifie une
majoration comme dans le (ii) de l’énoncé. Alors l’égalité (6) entraîne une telle
majoration pour I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ). Cela achève la démonstration.
IX.8.5 Stabilisation de la formule précédente
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On considère un espace
de Levi ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ), un sous-tore tordu ˜
T de ˜
M maximal et elliptique et un
ensemble ˜
U ⊂ ˜
T (R). On suppose ˜
U ouvert et d’adhérence compacte. Pour tout
espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ), on fixe une base B( ˜
L) de D ell,0 ( ˜
L), possédant les
propriétés de [IV] 2.2. En particulier, elle est réunion de bases B( ˜
L, μ) des sousespaces D ell,0,μ ( ˜
L), pour tout paramètre infinitésimal μ. On suppose de plus que,
pour tout μ, B( ˜
L, μ) est réunion de bases B
st ( ˜
L, μ) de D
st
ell,0,μ ( ˜
L) et B
inst ( ˜
L, μ)
de D
inst
ell,0,μ ( ˜
L). La base B( ˜
L) elle-même est donc réunion de B
st ( ˜
L) et B
inst ( ˜
L).
Proposition. Pour tout espace de Levi ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) et tout ˜
σ ∈ B
st ( ˜
R), il existe un
ensemble fini SH
˜
G
˜
R
(˜ σ) de sous-espaces affines de iA
∗
˜
R
de sorte que les propriétés
suivantes soient vérifiées pour tous ˜
M , ˜
T , ˜
U comme ci-dessus. Pour tout ϕ ∈
C
∞
c ( ˜
U reg ), il existe une famille
(Sφ ˜
R,˜ σ,H (ϕ)) ˜
R∈L( ˜
M0),˜ σ∈B st ( ˜
R),H∈SH
˜
G
˜
R
(˜ σ)
vérifiant les conditions (i) et (ii) de la proposition précédente ainsi que
(iii) pour tout f ∈ SI( ˜
G(R), K), on a l’égalité
˜
T (R)
ϕ(δ)S
˜
G
˜
M
(δ, f ) dδ
=
˜
R∈L( ˜
M0)
˜
σ∈B st ( ˜
R)
H∈SH
˜
G
˜
R
(˜ σ)
H
Sφ ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ)S
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R ) dλ.
Preuve. Fixons un ensemble de représentants X de l’ensemble de doubles classes
T \{x ∈ M ; ∀σ ∈ Γ R , xσ(x)
−1
∈ T }/M (R).
Pour ψ ∈ C
∞
c ( ˜
M (R)), on a l’égalité
S
˜
M (δ, ψ) =
x∈X
I
˜
M (x
−1 δx, ψ)