IX.8. L’application ˜
M
1123
convenable de D
˜
G
(exp(X)η), ces fonctions deviennent polynomiales en exp(X)η.
Pour prouver (5), il suffit alors d’appliquer la définition de f
ϕ et le fait que cette
fonction est à support compact en x, ce support ne dépendant pas de ϕ. Cela
prouve (5).
L’image de f ϕ dans I( ˜
G(R), ω) est égale à ϕ. Cela implique I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ) =
I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f ϕ ). L’égalité (4) devient
(6)
I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ) = J
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f ϕ ) −
˜
R∈L( ˜
L), ˜
R = ˜
G
I
˜
R
˜
L
(˜ π λ , φ
˜
G
˜
R
(f ϕ )).
Rappelons l’estimation du premier terme du membre de droite, que l’on reprend d’Arthur. Pour tout N ∈ N et tout opérateur différentiel Δ sur iA
∗
˜
L
à coefficients constants, il existe un ensemble fini de semi-normes N j pour j = 1, . . . , m
sur C
∞
c ( ˜
V ) de sorte que
|ΔJ
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f)| ≤ (1 + |λ|)
−N
j=1,...,m
N j (f )
pour tout λ ∈ iA
∗
˜
L
et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
V ).
Remarque. On a rappelé en [81] 5.2 la preuve de cette majoration pour Δ = 1.
Le même argument vaut pour tout Δ.
On applique cela à f ϕ et on utilise (5). On obtient que le terme J
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f ϕ ) vérifie une majoration comme dans le (ii) de l’énoncé (l’algèbre Diff
cst ( ˜
T (R))
ω
−1 -inv
étant remplacée par Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv conformément à l’isomorphisme antilinéaire
que l’on a utilisé plus haut).
Soit ˜
R ∈L( ˜
L), ˜
R = ˜
G. Considérons φ
˜
G
˜
R
(f ϕ ) comme un élément de I( ˜
R(R), ω).
C’est un élément de I
˜
R ( ˜
U reg , ω), l’analogue de I( ˜
U reg , ω) pour l’espace ambiant ˜
R.
En raisonnant par récurrence, on peut supposer que l’application
ϕ
→ I
˜
R
˜
L
(˜ π λ , ϕ
)
définie sur I
˜
R ( ˜
U reg , ω) vérifie les majorations souhaitées. Il intervient dans ces
majorations un terme δ
˜
R (ϕ
) analogue de δ(ϕ
) quand on remplace ˜
G par ˜
R.
Mais, d’après sa définition, on a δ
˜
R (ϕ
) ≥ cδ(ϕ
) pour tout ϕ
, avec une constante
c > 0 indépendante de ϕ
. Pour X ∈ u et n ∈ Norm G ( ˜
T ; R), on a par définition
φ
˜
G
˜
R
(f ϕ )(n
−1 exp(X)ηn) = J
˜
G
˜
R
(n
−1 exp(X)ηn, ω, f ϕ )
= ϕ(exp(X)η)ω(n)
−1
T θ (R)\G(R)
β(nx)v
˜
G
˜
R
(x) dx.
M
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convenable de D
˜
G
(exp(X)η), ces fonctions deviennent polynomiales en exp(X)η.
Pour prouver (5), il suffit alors d’appliquer la définition de f
ϕ et le fait que cette
fonction est à support compact en x, ce support ne dépendant pas de ϕ. Cela
prouve (5).
L’image de f ϕ dans I( ˜
G(R), ω) est égale à ϕ. Cela implique I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ) =
I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f ϕ ). L’égalité (4) devient
(6)
I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ) = J
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f ϕ ) −
˜
R∈L( ˜
L), ˜
R = ˜
G
I
˜
R
˜
L
(˜ π λ , φ
˜
G
˜
R
(f ϕ )).
Rappelons l’estimation du premier terme du membre de droite, que l’on reprend d’Arthur. Pour tout N ∈ N et tout opérateur différentiel Δ sur iA
∗
˜
L
à coefficients constants, il existe un ensemble fini de semi-normes N j pour j = 1, . . . , m
sur C
∞
c ( ˜
V ) de sorte que
|ΔJ
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f)| ≤ (1 + |λ|)
−N
j=1,...,m
N j (f )
pour tout λ ∈ iA
∗
˜
L
et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
V ).
Remarque. On a rappelé en [81] 5.2 la preuve de cette majoration pour Δ = 1.
Le même argument vaut pour tout Δ.
On applique cela à f ϕ et on utilise (5). On obtient que le terme J
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f ϕ ) vérifie une majoration comme dans le (ii) de l’énoncé (l’algèbre Diff
cst ( ˜
T (R))
ω
−1 -inv
étant remplacée par Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv conformément à l’isomorphisme antilinéaire
que l’on a utilisé plus haut).
Soit ˜
R ∈L( ˜
L), ˜
R = ˜
G. Considérons φ
˜
G
˜
R
(f ϕ ) comme un élément de I( ˜
R(R), ω).
C’est un élément de I
˜
R ( ˜
U reg , ω), l’analogue de I( ˜
U reg , ω) pour l’espace ambiant ˜
R.
En raisonnant par récurrence, on peut supposer que l’application
ϕ
→ I
˜
R
˜
L
(˜ π λ , ϕ
)
définie sur I
˜
R ( ˜
U reg , ω) vérifie les majorations souhaitées. Il intervient dans ces
majorations un terme δ
˜
R (ϕ
) analogue de δ(ϕ
) quand on remplace ˜
G par ˜
R.
Mais, d’après sa définition, on a δ
˜
R (ϕ
) ≥ cδ(ϕ
) pour tout ϕ
, avec une constante
c > 0 indépendante de ϕ
. Pour X ∈ u et n ∈ Norm G ( ˜
T ; R), on a par définition
φ
˜
G
˜
R
(f ϕ )(n
−1 exp(X)ηn) = J
˜
G
˜
R
(n
−1 exp(X)ηn, ω, f ϕ )
= ϕ(exp(X)η)ω(n)
−1
T θ (R)\G(R)
β(nx)v
˜
G
˜
R
(x) dx.