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Chapitre IX. Le cas archimédien
I( ˜
G reg (R), ω). Le terme I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ) intervenant ci-dessus est la valeur de cette application en ϕ ∈ I( ˜
G reg (R), ω). Que ce terme soit C
∞ en λ est immédiat par
récurrence sur la formule (4) car le terme J
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f) est C
∞ en λ. Nous voulons
montrer que I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ) vérifie une majoration comme dans le (ii) de l’énoncé.
L’ensemble ˜
U
G des éléments de ˜
G(R) qui sont conjugués à un élément de ˜
U
est égal à {x
−1 exp(X)ηx; X ∈ u, x ∈ G(R)}. Notons u reg le sous-ensemble des éléments de u dont le stabilisateur dans Ξ est réduit à {1}. Considérons l’application
u reg × T
θ (R)\G(R) →
˜
G(R)
(X, x)
횾 → x
−1 exp(X)ηx.
Le groupe N agit sur l’espace de départ par (y, X, x) → (ad y (X), yx) pour y ∈ N .
Cette action se quotiente en une action du groupe fini Ξ. L’application ci-dessus a
pour image ˜
U
˜
G
∩ ˜
G reg (R) et, pourvu que u soit assez petit, est un revêtement fini
de groupe Ξ au-dessus de cette image. Fixons une fonction β ∈ C
∞
c (T
θ (R)\G(R))
dont l’intégrale vaut 1 et qui est invariante par l’action de Ξ par translation à
gauche. Pour ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω), notons f
ϕ la fonction sur u reg × T
θ (R)\G(R) définie
par
f
ϕ (X, x) = ω(x)
−1 β(x)D
˜
G (exp(X)η)
−1/2 ϕ(exp(X)η).
Elle est invariante par l’action de Ξ. Elle se descend donc en une fonction f ϕ sur
˜
G(R), à support dans ˜
U
˜
G ∩ ˜
G reg (R). On peut fixer un sous-ensemble ouvert ˜
V de
˜
G(R), d’adhérence compacte, qui contient x
−1 exp(X)ηx pour tout X ∈ u et tout x
dans le support de β. La fonction f ϕ est à support dans ˜
V . L’algèbre enveloppante
U(G) agit à droite et à gauche sur C
∞
c ( ˜
V ). On note ces actions (X, f, Y ) → Xf Y .
On munit C
∞
c ( ˜
V ) des semi-normes f → sup γ∈ ˜
V |(Xf Y )(γ)| pour X, Y ∈ U(G).
Montrons que
(5) pour toute semi-norme N sur C
∞
c ( ˜
V ), il existe un entier d et un ensemble
fini d’éléments D i ∈ Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv pour i = 1, . . . , n de sorte que, pour
tout ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω), on ait
N (f ϕ ) ≤ δ(ϕ)
−d
i=1,...,n
sup
X∈u
|D i ϕ(exp(X)η)|.
Fixons une base (U j ) j∈N de U(G) et une base (H l ) l∈N de Sym(t
θ ). L’algèbre
Sym(t
θ )⊗U(G) agit naturellement sur l’espace des fonctions sur u reg ×T
θ (R)\G(R).
Fixons j 1 , j 2 ∈ N. En utilisant l’application d’Harish-Chandra de 1.5, on montre
que l’on a une égalité
(U j1 f ϕ U j2 )(x
−1 exp(X)ηx) =
j,l∈N
c j,l (x, exp(X)η)(H l U j f
ϕ )(X, x)
où les fonctions c j,l (x, exp(X)η) sont presque toutes nulles, sont C
∞ en x et rationnelles en exp(X)η. Le (i) du lemme 1.5 montre que, multipliées par une puissance
Chapitre IX. Le cas archimédien
I( ˜
G reg (R), ω). Le terme I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ) intervenant ci-dessus est la valeur de cette application en ϕ ∈ I( ˜
G reg (R), ω). Que ce terme soit C
∞ en λ est immédiat par
récurrence sur la formule (4) car le terme J
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f) est C
∞ en λ. Nous voulons
montrer que I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ) vérifie une majoration comme dans le (ii) de l’énoncé.
L’ensemble ˜
U
G des éléments de ˜
G(R) qui sont conjugués à un élément de ˜
U
est égal à {x
−1 exp(X)ηx; X ∈ u, x ∈ G(R)}. Notons u reg le sous-ensemble des éléments de u dont le stabilisateur dans Ξ est réduit à {1}. Considérons l’application
u reg × T
θ (R)\G(R) →
˜
G(R)
(X, x)
횾 → x
−1 exp(X)ηx.
Le groupe N agit sur l’espace de départ par (y, X, x) → (ad y (X), yx) pour y ∈ N .
Cette action se quotiente en une action du groupe fini Ξ. L’application ci-dessus a
pour image ˜
U
˜
G
∩ ˜
G reg (R) et, pourvu que u soit assez petit, est un revêtement fini
de groupe Ξ au-dessus de cette image. Fixons une fonction β ∈ C
∞
c (T
θ (R)\G(R))
dont l’intégrale vaut 1 et qui est invariante par l’action de Ξ par translation à
gauche. Pour ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω), notons f
ϕ la fonction sur u reg × T
θ (R)\G(R) définie
par
f
ϕ (X, x) = ω(x)
−1 β(x)D
˜
G (exp(X)η)
−1/2 ϕ(exp(X)η).
Elle est invariante par l’action de Ξ. Elle se descend donc en une fonction f ϕ sur
˜
G(R), à support dans ˜
U
˜
G ∩ ˜
G reg (R). On peut fixer un sous-ensemble ouvert ˜
V de
˜
G(R), d’adhérence compacte, qui contient x
−1 exp(X)ηx pour tout X ∈ u et tout x
dans le support de β. La fonction f ϕ est à support dans ˜
V . L’algèbre enveloppante
U(G) agit à droite et à gauche sur C
∞
c ( ˜
V ). On note ces actions (X, f, Y ) → Xf Y .
On munit C
∞
c ( ˜
V ) des semi-normes f → sup γ∈ ˜
V |(Xf Y )(γ)| pour X, Y ∈ U(G).
Montrons que
(5) pour toute semi-norme N sur C
∞
c ( ˜
V ), il existe un entier d et un ensemble
fini d’éléments D i ∈ Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv pour i = 1, . . . , n de sorte que, pour
tout ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω), on ait
N (f ϕ ) ≤ δ(ϕ)
−d
i=1,...,n
sup
X∈u
|D i ϕ(exp(X)η)|.
Fixons une base (U j ) j∈N de U(G) et une base (H l ) l∈N de Sym(t
θ ). L’algèbre
Sym(t
θ )⊗U(G) agit naturellement sur l’espace des fonctions sur u reg ×T
θ (R)\G(R).
Fixons j 1 , j 2 ∈ N. En utilisant l’application d’Harish-Chandra de 1.5, on montre
que l’on a une égalité
(U j1 f ϕ U j2 )(x
−1 exp(X)ηx) =
j,l∈N
c j,l (x, exp(X)η)(H l U j f
ϕ )(X, x)
où les fonctions c j,l (x, exp(X)η) sont presque toutes nulles, sont C
∞ en x et rationnelles en exp(X)η. Le (i) du lemme 1.5 montre que, multipliées par une puissance