IX.8. L’application ˜
M
1121
Remarquons que l’action de Norm G ( ˜
T ; R) conserve A ˜
T , lequel est égal à A ˜
M
puisque ˜
T est un sous-tore elliptique de ˜
M . Donc cette action conserve ˜
M . Il en
résulte que la fonction γ → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) intervenant dans (iv) vérifie elle-même une
condition de symétrie relativement à cette action. Cela implique que le membre
de gauche de (iv) ne change pas quand on remplace ϕ par ϕ
sym . On peut donc se
limiter à démontrer la proposition pour des ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω
−1 ). On définit l’espace
I( ˜
U reg , ω) comme on a défini I( ˜
U reg , ω
−1 ). Parce que ω est unitaire, l’application
ϕ → ¯
ϕ est un automorphisme antilinéaire de I( ˜
U reg , ω
−1 ) sur I( ˜
U reg , ω). Notons I( ˜
G reg (R), ω) l’image dans I( ˜
G(R), ω) de l’espace des éléments de C
∞
c ( ˜
G(R))
à support fortement régulier. L’espace I( ˜
U reg , ω) s’identifie à un sous-espace de
I( ˜
G reg (R), ω) de la façon suivante. Une fonction ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω) s’identifie à la
fonction f ∈ I( ˜
G reg (R), ω) telle que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout γ ∈ ˜
G(R) qui n’est
pas conjugué à un élément de ˜
T (R) et que I
˜
G (γ, ω, f ) = ϕ(γ) pour tout γ ∈ ˜
T (R).
On utilise [62] proposition 2, dont on reprend les notations.
Pour ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω), on a l’égalité
˜
T (R)/(1−θ)(T (R))
ϕ(γ)I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) dγ
=
˜
L∈L( ˜
M0)
˜
π∈E disc,0 ( ˜
L,ω)
c ˜
L,˜ π
iA ∗
˜
L
I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ)I
˜
L (˜ π λ , f ˜
L,ω ) dλ.
Pour ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω
−1 ), on en déduit
˜
T (R)/(1−θ)(T (R))
ϕ(γ)I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) dγ
=
˜
L∈L( ˜
M0)
˜
π∈E disc,0 ( ˜
L,ω)
c ˜
L,˜ π
iA
∗
˜
L
I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ¯
ϕ)I
˜
L (˜ π λ , f ˜
L,ω ) dλ.
Les explications données avant l’énoncé permettent de convertir cette formule
en celle du (iv) de l’énoncé. On peut imposer (iii) et la famille obtenue est alors
unique. Les conditions (i) et (ii) se déduisent d’assertions analogues concernant
les fonctions λ → I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ) intervenant ci-dessus, pour ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω). Il reste à
prouver ces assertions. On fixe ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et ˜
π ∈ E disc,0 ( ˜
L, ω). Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)),
supposons f à support fortement régulier. On définit par récurrence un terme
(4)
I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f) = J
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f) −
˜
R∈L( ˜
L), ˜
R = ˜
G
I
˜
R
˜
L
(˜ π λ , φ
˜
G
˜
R
(f )).
On rappellera plus loin la définition de φ
˜
G
˜
R
(f ). En [62], Moeglin montre que
l’application linéaire f → I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f) se quotiente en une application définie sur
M
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Remarquons que l’action de Norm G ( ˜
T ; R) conserve A ˜
T , lequel est égal à A ˜
M
puisque ˜
T est un sous-tore elliptique de ˜
M . Donc cette action conserve ˜
M . Il en
résulte que la fonction γ → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) intervenant dans (iv) vérifie elle-même une
condition de symétrie relativement à cette action. Cela implique que le membre
de gauche de (iv) ne change pas quand on remplace ϕ par ϕ
sym . On peut donc se
limiter à démontrer la proposition pour des ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω
−1 ). On définit l’espace
I( ˜
U reg , ω) comme on a défini I( ˜
U reg , ω
−1 ). Parce que ω est unitaire, l’application
ϕ → ¯
ϕ est un automorphisme antilinéaire de I( ˜
U reg , ω
−1 ) sur I( ˜
U reg , ω). Notons I( ˜
G reg (R), ω) l’image dans I( ˜
G(R), ω) de l’espace des éléments de C
∞
c ( ˜
G(R))
à support fortement régulier. L’espace I( ˜
U reg , ω) s’identifie à un sous-espace de
I( ˜
G reg (R), ω) de la façon suivante. Une fonction ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω) s’identifie à la
fonction f ∈ I( ˜
G reg (R), ω) telle que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout γ ∈ ˜
G(R) qui n’est
pas conjugué à un élément de ˜
T (R) et que I
˜
G (γ, ω, f ) = ϕ(γ) pour tout γ ∈ ˜
T (R).
On utilise [62] proposition 2, dont on reprend les notations.
Pour ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω), on a l’égalité
˜
T (R)/(1−θ)(T (R))
ϕ(γ)I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) dγ
=
˜
L∈L( ˜
M0)
˜
π∈E disc,0 ( ˜
L,ω)
c ˜
L,˜ π
iA ∗
˜
L
I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ)I
˜
L (˜ π λ , f ˜
L,ω ) dλ.
Pour ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω
−1 ), on en déduit
˜
T (R)/(1−θ)(T (R))
ϕ(γ)I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) dγ
=
˜
L∈L( ˜
M0)
˜
π∈E disc,0 ( ˜
L,ω)
c ˜
L,˜ π
iA
∗
˜
L
I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ¯
ϕ)I
˜
L (˜ π λ , f ˜
L,ω ) dλ.
Les explications données avant l’énoncé permettent de convertir cette formule
en celle du (iv) de l’énoncé. On peut imposer (iii) et la famille obtenue est alors
unique. Les conditions (i) et (ii) se déduisent d’assertions analogues concernant
les fonctions λ → I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , ϕ) intervenant ci-dessus, pour ϕ ∈ I( ˜
U reg , ω). Il reste à
prouver ces assertions. On fixe ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et ˜
π ∈ E disc,0 ( ˜
L, ω). Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)),
supposons f à support fortement régulier. On définit par récurrence un terme
(4)
I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f) = J
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f) −
˜
R∈L( ˜
L), ˜
R = ˜
G
I
˜
R
˜
L
(˜ π λ , φ
˜
G
˜
R
(f )).
On rappellera plus loin la définition de φ
˜
G
˜
R
(f ). En [62], Moeglin montre que
l’application linéaire f → I
˜
G
˜
L
(˜ π λ , f) se quotiente en une application définie sur