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Chapitre IX. Le cas archimédien
Proposition. Pour tout ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv , il existe une unique famille
(φ ˜
R,˜ σ,H (ϕ)) ˜
R∈L( ˜
M0),˜ σ∈E ell,0 ( ˜
R,ω),H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ)
vérifiant les conditions suivantes.
(i) Soient ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ), ˜
σ ∈ E ell,0 ( ˜
R, ω) et H ∈ H
˜
G
˜
R
(˜ σ). Le terme φ ˜
R,˜ σ,H (ϕ) est
une fonction C
∞ sur H. On note φ ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ) sa valeur en un point λ ∈ H.
(ii) Soient ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ), ˜
σ ∈ E ell,0 ( ˜
R, ω) et H ∈ H
˜
G
˜
R
(˜ σ). Pour N ∈ N et pour un
opérateur différentiel à coefficients constants Δ sur H, il existe des opérateurs
D i ∈ Diff
cst ( ˜
T (R))
ω
−1 -inv pour i = 1, . . . , n indépendants de ϕ et un entier
d ∈ N indépendant de ϕ de sorte que
|Δφ ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ)| ≤ (1 + |λ|)
−N δ(ϕ)
−d
i=1,...,n
sup
γ∈ ˜
U
|D i ϕ(γ)|
pour tout λ ∈ H.
(iii) La famille vérifie la condition de symétrie (3).
(iv) Pour tout f ∈ I( ˜
G(R), ω, K), on a l’égalité
˜
T (R)/(1−θ)(T (R))
ϕ(γ)I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) dγ
=
˜
R∈L( ˜
M0)
˜
σ∈E ell,0 ( ˜
R,ω)
H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ)
H
φ ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ)I
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R,ω ) dλ.
Preuve. On peut évidemment supposer que ω est trivial sur T
θ (R), sinon
C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv = {0}. On peut effectuer une partition de l’unité et supposer
que ˜
U est de la forme suivante. Fixons η ∈ ˜
T (R). Notons Norm G ( ˜
T ) le normalisateur de ˜
T dans G. Il contient T . Posons N = Norm G ( ˜
T ; R) ∩ Z G (η; R) et
Ξ = N/T
θ (R). Ce groupe est fini et agit naturellement sur t
θ (R). Fixons un voisinage u de 0 dans t
θ (R), que l’on suppose assez petit et invariant par Ξ. On
suppose que ˜
U = {x
−1 exp(X)ηx; X ∈ u, x ∈ Norm G ( ˜
T ; R)}. Notons I( ˜
U reg , ω
−1 )
le sous-espace des éléments ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv qui vérifient la condition
ϕ(x
−1 exp(X)ηx) = ω(x)ϕ(exp(X)η)
pour tout X ∈ u et x ∈ Norm G ( ˜
T ; R). Posons W T = Norm G ( ˜
T ; R)/T (R). On a
une application de symétrisation
C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv
→ I( ˜
U reg , ω
−1 )
ϕ
→
ϕ
sym
définie par la formule
ϕ
sym (γ) = |W T |
−1
x∈NormG( ˜
T ;R)/T (R)
ω(x)
−1 ϕ(x
−1 γx).
Chapitre IX. Le cas archimédien
Proposition. Pour tout ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv , il existe une unique famille
(φ ˜
R,˜ σ,H (ϕ)) ˜
R∈L( ˜
M0),˜ σ∈E ell,0 ( ˜
R,ω),H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ)
vérifiant les conditions suivantes.
(i) Soient ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ), ˜
σ ∈ E ell,0 ( ˜
R, ω) et H ∈ H
˜
G
˜
R
(˜ σ). Le terme φ ˜
R,˜ σ,H (ϕ) est
une fonction C
∞ sur H. On note φ ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ) sa valeur en un point λ ∈ H.
(ii) Soient ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ), ˜
σ ∈ E ell,0 ( ˜
R, ω) et H ∈ H
˜
G
˜
R
(˜ σ). Pour N ∈ N et pour un
opérateur différentiel à coefficients constants Δ sur H, il existe des opérateurs
D i ∈ Diff
cst ( ˜
T (R))
ω
−1 -inv pour i = 1, . . . , n indépendants de ϕ et un entier
d ∈ N indépendant de ϕ de sorte que
|Δφ ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ)| ≤ (1 + |λ|)
−N δ(ϕ)
−d
i=1,...,n
sup
γ∈ ˜
U
|D i ϕ(γ)|
pour tout λ ∈ H.
(iii) La famille vérifie la condition de symétrie (3).
(iv) Pour tout f ∈ I( ˜
G(R), ω, K), on a l’égalité
˜
T (R)/(1−θ)(T (R))
ϕ(γ)I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) dγ
=
˜
R∈L( ˜
M0)
˜
σ∈E ell,0 ( ˜
R,ω)
H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ)
H
φ ˜
R,˜ σ,H (ϕ, λ)I
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R,ω ) dλ.
Preuve. On peut évidemment supposer que ω est trivial sur T
θ (R), sinon
C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv = {0}. On peut effectuer une partition de l’unité et supposer
que ˜
U est de la forme suivante. Fixons η ∈ ˜
T (R). Notons Norm G ( ˜
T ) le normalisateur de ˜
T dans G. Il contient T . Posons N = Norm G ( ˜
T ; R) ∩ Z G (η; R) et
Ξ = N/T
θ (R). Ce groupe est fini et agit naturellement sur t
θ (R). Fixons un voisinage u de 0 dans t
θ (R), que l’on suppose assez petit et invariant par Ξ. On
suppose que ˜
U = {x
−1 exp(X)ηx; X ∈ u, x ∈ Norm G ( ˜
T ; R)}. Notons I( ˜
U reg , ω
−1 )
le sous-espace des éléments ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv qui vérifient la condition
ϕ(x
−1 exp(X)ηx) = ω(x)ϕ(exp(X)η)
pour tout X ∈ u et x ∈ Norm G ( ˜
T ; R). Posons W T = Norm G ( ˜
T ; R)/T (R). On a
une application de symétrisation
C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv
→ I( ˜
U reg , ω
−1 )
ϕ
→
ϕ
sym
définie par la formule
ϕ
sym (γ) = |W T |
−1
x∈NormG( ˜
T ;R)/T (R)
ω(x)
−1 ϕ(x
−1 γx).