IX.8. L’application ˜
M
1119
c’est-à-dire w(˜ σ) = z w ˜
σ w , où z w ∈ C
× et ˜
σ w ∈ E ell,0 (w( ˜
R), ω). Alors H
˜
G
˜
R
(˜ σ) =
w
−1 (H
˜
G
w( ˜
R)
(˜ σ w )).
Pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et pour tout ˜
π ∈ E disc,0 ( ˜
L, ω), soit φ ˜
L,˜ π une fonction
C
∞ et à croissance polynomiale sur iA
∗
˜
L
. Pour f ∈ I( ˜
G(R), ω, K), l’expression
J(f ) =
˜
L∈L( ˜
M0)
˜
π∈E disc,0 ( ˜
L,ω)
iA ∗
˜
L
φ ˜
L,˜ π (λ)I
˜
L (˜ π λ , f ˜
L,ω ) dλ.
est convergente.
Le résultat ci-dessus montre qu’à la famille (φ ˜
L,˜ π ) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈E disc,0 ( ˜
L,ω) , on
peut associer une famille (φ ˜
R,˜ σ,H ) ˜
R∈L( ˜
M0),˜ σ∈E ell,0 ( ˜
R,ω),H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ)
, où φ ˜
R,˜ σ,H est une
fonction C
∞ à croissance polynomiale sur H, de sorte que
J(f ) =
˜
R∈L( ˜
M0)
˜
σ∈E ell,0 ( ˜
R,ω)
H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ)
H
φ ˜
R,˜ σ,H (λ)I
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R,ω ) dλ.
En vertu des propriétés de symétries de la famille (f ˜
R,ω ) ˜
R∈L( ˜
M0) , on peut symétriser la famille (φ ˜
R,˜ σ,H ) ˜
R∈L( ˜
M0),˜ σ∈E ell,0 ( ˜
R,ω),H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ)
et supposer
(3) pour ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ), ˜
σ ∈ E ell,0 ( ˜
R, ω), H ∈ H
˜
G
˜
R
(˜ σ), λ ∈ H et w ∈ W ( ˜
M 0 ), on
a l’égalité φ ˜
R,˜ σ,H (λ) = z w φ w( ˜
R),˜ σw,w(H) (wλ), où on a écrit w(˜ σ) = z w ˜
σ w
comme ci-dessus.
En imposant cette condition, la famille (φ ˜
R,˜ σ,H ) ˜
R∈L( ˜
M0),˜ σ∈E ell,0 ( ˜
R,ω),H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ)
est entièrement déterminée par la forme linéaire f → J(f ).
Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et soit ˜
T un sous-tore tordu maximal elliptique de ˜
M . Fixons
un sous-ensemble ouvert ˜
U ⊂ ˜
T (R), invariant par multiplication par (1 − θ)(T (R))
et dont l’image dans ˜
T (R)/(1−θ))(T (R)) est d’adhérence compacte. Posons ˜
U reg =
˜
U ∩ ˜
G reg (R). Notons C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv l’espace des fonctions ϕ sur ˜
T (R) qui vérifient
les conditions suivantes :
– ϕ est C
∞ ;
– on a ϕ(t
−1 γt) = ω(t)ϕ(γ) pour tous γ ∈ ˜
T (R) et t ∈ T (R) ;
– le support de ϕ est contenu dans ˜
U reg et est d’image compacte dans ˜
T (R)/(1−
θ)(T (R)).
Soulignons que la condition de transformation n’est pas la même qu’en 1.1 :
on a inversé ω. Rappelons que l’on suppose ω unitaire (cf. introduction) donc
ω
−1 = ¯
ω. L’algèbre d’opérateurs différentiels Diff
cst ( ˜
T (R))
ω
−1 -inv de 1.1 (avec ω
inversé) agit sur C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv . Pour ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv , posons
δ(ϕ) = inf γ∈Supp(ϕ) D
˜
G (γ).
M
1119
c’est-à-dire w(˜ σ) = z w ˜
σ w , où z w ∈ C
× et ˜
σ w ∈ E ell,0 (w( ˜
R), ω). Alors H
˜
G
˜
R
(˜ σ) =
w
−1 (H
˜
G
w( ˜
R)
(˜ σ w )).
Pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et pour tout ˜
π ∈ E disc,0 ( ˜
L, ω), soit φ ˜
L,˜ π une fonction
C
∞ et à croissance polynomiale sur iA
∗
˜
L
. Pour f ∈ I( ˜
G(R), ω, K), l’expression
J(f ) =
˜
L∈L( ˜
M0)
˜
π∈E disc,0 ( ˜
L,ω)
iA ∗
˜
L
φ ˜
L,˜ π (λ)I
˜
L (˜ π λ , f ˜
L,ω ) dλ.
est convergente.
Le résultat ci-dessus montre qu’à la famille (φ ˜
L,˜ π ) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈E disc,0 ( ˜
L,ω) , on
peut associer une famille (φ ˜
R,˜ σ,H ) ˜
R∈L( ˜
M0),˜ σ∈E ell,0 ( ˜
R,ω),H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ)
, où φ ˜
R,˜ σ,H est une
fonction C
∞ à croissance polynomiale sur H, de sorte que
J(f ) =
˜
R∈L( ˜
M0)
˜
σ∈E ell,0 ( ˜
R,ω)
H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ)
H
φ ˜
R,˜ σ,H (λ)I
˜
R (˜ σ λ , f ˜
R,ω ) dλ.
En vertu des propriétés de symétries de la famille (f ˜
R,ω ) ˜
R∈L( ˜
M0) , on peut symétriser la famille (φ ˜
R,˜ σ,H ) ˜
R∈L( ˜
M0),˜ σ∈E ell,0 ( ˜
R,ω),H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ)
et supposer
(3) pour ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ), ˜
σ ∈ E ell,0 ( ˜
R, ω), H ∈ H
˜
G
˜
R
(˜ σ), λ ∈ H et w ∈ W ( ˜
M 0 ), on
a l’égalité φ ˜
R,˜ σ,H (λ) = z w φ w( ˜
R),˜ σw,w(H) (wλ), où on a écrit w(˜ σ) = z w ˜
σ w
comme ci-dessus.
En imposant cette condition, la famille (φ ˜
R,˜ σ,H ) ˜
R∈L( ˜
M0),˜ σ∈E ell,0 ( ˜
R,ω),H∈H
˜
G
˜
R
(˜ σ)
est entièrement déterminée par la forme linéaire f → J(f ).
Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et soit ˜
T un sous-tore tordu maximal elliptique de ˜
M . Fixons
un sous-ensemble ouvert ˜
U ⊂ ˜
T (R), invariant par multiplication par (1 − θ)(T (R))
et dont l’image dans ˜
T (R)/(1−θ))(T (R)) est d’adhérence compacte. Posons ˜
U reg =
˜
U ∩ ˜
G reg (R). Notons C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv l’espace des fonctions ϕ sur ˜
T (R) qui vérifient
les conditions suivantes :
– ϕ est C
∞ ;
– on a ϕ(t
−1 γt) = ω(t)ϕ(γ) pour tous γ ∈ ˜
T (R) et t ∈ T (R) ;
– le support de ϕ est contenu dans ˜
U reg et est d’image compacte dans ˜
T (R)/(1−
θ)(T (R)).
Soulignons que la condition de transformation n’est pas la même qu’en 1.1 :
on a inversé ω. Rappelons que l’on suppose ω unitaire (cf. introduction) donc
ω
−1 = ¯
ω. L’algèbre d’opérateurs différentiels Diff
cst ( ˜
T (R))
ω
−1 -inv de 1.1 (avec ω
inversé) agit sur C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv . Pour ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
U reg )
ω
−1 -inv , posons
δ(ϕ) = inf γ∈Supp(ϕ) D
˜
G (γ).