1118
Chapitre IX. Le cas archimédien
IX.8.4 Retour sur la formule des traces locale symétrique
Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar pour la fin du chapitre. Dans ce
paragraphe, on considère un triplet (G, ˜
G, a). Pour un espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ),
on introduit un ensemble de représentants E ell,0 ( ˜
L, ω) des classes d’équivalence des
ω-représentations elliptiques ˜
π de ˜
L(R) dont le caractère central ω π est trivial sur
A ˜
L . Introduisons de même un ensemble de représentants E disc,0 ( ˜
L, ω) des classes
d’équivalence des ω-représentations discrètes ˜
π de ˜
L(R) dont le caractère central
ω π est trivial sur A ˜
L . On renvoie à [81] 2.11 pour la notion de ω-représentation
discrète. Soit ˜
π ∈ E disc,0 ( ˜
L, ω). Il résulte du lemme 2.11 de [81] que c’est l’induite
d’une représentation elliptique d’un espace de Levi de ˜
L. C’est-à-dire que l’on peut
écrire
(1)
˜
π = c Ind
˜
L
˜
R
(˜ σ ν ),
où c ∈ C, ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) est un espace de Levi contenu dans ˜
L, ˜
σ appartient à
E ell,0 ( ˜
R, ω) et ν ∈ iA
∗
˜
R
.
Inversement, soient ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) et ˜
σ ∈ E ell,0 ( ˜
R, ω). Montrons que
(2) il n’existe qu’un nombre fini de couples ( ˜
L, ˜
π), où ˜
L ∈L( ˜
R) et ˜
π ∈E disc,0 ( ˜
L,ω),
tels que le couple ( ˜
R, ˜
σ) soit celui intervenant dans la décomposition (1).
Preuve. On peut évidemment fixer ˜
L et prouver la finitude de l’ensemble des
˜
π. La représentation ˜
σ est issue d’un triplet elliptique (M, τ, ˜ r), cf. [81] 2.11. Le
terme M est un Levi de R contenant M 0 et τ est une représentation de la série
discrète de M (R). Soit ν ∈ iA
∗
˜
R
. On veut que le caractère central de Ind
˜
L
˜
R
(σ ν )
soit trivial sur A ˜
L . Cela impose que ν appartient à iA
˜
L,∗
˜
R
. Pour que Ind
˜
L
˜
R
(˜ σ ν ) soit
une ω-représentation discrète, il est nécessaire qu’il existe γ ∈ ˜
L(R) vérifiant les
conditions suivantes :
– ad γ conserve M ;
– τ ν ◦ ad γ τ ν ⊗ ω ;
– l’automorphisme w γ de A
˜
L
M déduit de ad γ n’a pas de points fixes non nuls.
Il n’y a qu’un nombre fini d’automorphismes w γ possibles. Pour chacun d’eux,
la deuxième relation détermine (w
−1
γ − 1)(ν) ∈ iA
˜
L∗
M . D’après la troisième relation,
cela revient à déterminer ν. Cela prouve (2).
Soient ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) et ˜
σ ∈ E ell,0 ( ˜
R, ω). A chaque couple ( ˜
L, ˜
π) vérifiant (2),
associons le sous-espace affine H = ν + iA
∗
˜
L
de iA
∗
˜
R
. On obtient un ensemble fini
H
˜
G
˜
R
(˜ σ) de sous-espaces affines de iA
∗
˜
R
. Cet ensemble contient iA
∗
˜
R
: cet espace
est associé au couple ( ˜
L, ˜
π) = ( ˜
R, ˜
σ) lui-même. L’ensemble est symétrique au
sens suivant. Un élément w ∈ W ( ˜
M 0 ) agit en envoyant ˜
R sur w( ˜
R) et ˜
σ, sinon
sur un élément de E ell,0 (w( ˜
R), ω), du moins sur un multiple d’un tel élément,
Chapitre IX. Le cas archimédien
IX.8.4 Retour sur la formule des traces locale symétrique
Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar pour la fin du chapitre. Dans ce
paragraphe, on considère un triplet (G, ˜
G, a). Pour un espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ),
on introduit un ensemble de représentants E ell,0 ( ˜
L, ω) des classes d’équivalence des
ω-représentations elliptiques ˜
π de ˜
L(R) dont le caractère central ω π est trivial sur
A ˜
L . Introduisons de même un ensemble de représentants E disc,0 ( ˜
L, ω) des classes
d’équivalence des ω-représentations discrètes ˜
π de ˜
L(R) dont le caractère central
ω π est trivial sur A ˜
L . On renvoie à [81] 2.11 pour la notion de ω-représentation
discrète. Soit ˜
π ∈ E disc,0 ( ˜
L, ω). Il résulte du lemme 2.11 de [81] que c’est l’induite
d’une représentation elliptique d’un espace de Levi de ˜
L. C’est-à-dire que l’on peut
écrire
(1)
˜
π = c Ind
˜
L
˜
R
(˜ σ ν ),
où c ∈ C, ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) est un espace de Levi contenu dans ˜
L, ˜
σ appartient à
E ell,0 ( ˜
R, ω) et ν ∈ iA
∗
˜
R
.
Inversement, soient ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) et ˜
σ ∈ E ell,0 ( ˜
R, ω). Montrons que
(2) il n’existe qu’un nombre fini de couples ( ˜
L, ˜
π), où ˜
L ∈L( ˜
R) et ˜
π ∈E disc,0 ( ˜
L,ω),
tels que le couple ( ˜
R, ˜
σ) soit celui intervenant dans la décomposition (1).
Preuve. On peut évidemment fixer ˜
L et prouver la finitude de l’ensemble des
˜
π. La représentation ˜
σ est issue d’un triplet elliptique (M, τ, ˜ r), cf. [81] 2.11. Le
terme M est un Levi de R contenant M 0 et τ est une représentation de la série
discrète de M (R). Soit ν ∈ iA
∗
˜
R
. On veut que le caractère central de Ind
˜
L
˜
R
(σ ν )
soit trivial sur A ˜
L . Cela impose que ν appartient à iA
˜
L,∗
˜
R
. Pour que Ind
˜
L
˜
R
(˜ σ ν ) soit
une ω-représentation discrète, il est nécessaire qu’il existe γ ∈ ˜
L(R) vérifiant les
conditions suivantes :
– ad γ conserve M ;
– τ ν ◦ ad γ τ ν ⊗ ω ;
– l’automorphisme w γ de A
˜
L
M déduit de ad γ n’a pas de points fixes non nuls.
Il n’y a qu’un nombre fini d’automorphismes w γ possibles. Pour chacun d’eux,
la deuxième relation détermine (w
−1
γ − 1)(ν) ∈ iA
˜
L∗
M . D’après la troisième relation,
cela revient à déterminer ν. Cela prouve (2).
Soient ˜
R ∈ L( ˜
M 0 ) et ˜
σ ∈ E ell,0 ( ˜
R, ω). A chaque couple ( ˜
L, ˜
π) vérifiant (2),
associons le sous-espace affine H = ν + iA
∗
˜
L
de iA
∗
˜
R
. On obtient un ensemble fini
H
˜
G
˜
R
(˜ σ) de sous-espaces affines de iA
∗
˜
R
. Cet ensemble contient iA
∗
˜
R
: cet espace
est associé au couple ( ˜
L, ˜
π) = ( ˜
R, ˜
σ) lui-même. L’ensemble est symétrique au
sens suivant. Un élément w ∈ W ( ˜
M 0 ) agit en envoyant ˜
R sur w( ˜
R) et ˜
σ, sinon
sur un élément de E ell,0 (w( ˜
R), ω), du moins sur un multiple d’un tel élément,