IX.8. L’application ˜
M
1117
La fonction φ de l’énoncé est uniquement déterminée. On pose
K ˜
M (f ) = φ −
c ϕ f .
On a ainsi défini une application linéaire
K ˜
M : I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) → I ac,cusp (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)).
A ce point, on peut préciser que K ˜
M prend ses valeurs dans
(I cusp ( ˜
M (R), ω) + I ac,cusp (K ˜
M (R), ω, K)) ⊗ Mes(M (R)),
c’est-à-dire que K ˜
M (f ) est somme d’une fonction qui est à support compact mais
qui n’est pas forcément K-finie et d’une fonction K-finie qui n’est pas forcément
à support compact. On prouvera dans les paragraphes suivants que l’on peut
supprimer le premier terme I cusp ( ˜
M (R), ω), autrement dit que K ˜
M prend ses
valeurs dans le sous-espace des fonctions K-finies.
Notons une propriété importante :
(1) on a l’égalité K ˜
M (zf ) = z ˜
M K ˜
M (f ) pour tout
f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R))
et tout z ∈ Z(G).
Cela résulte de 8.1(6). On a aussi
(2) pour toute ω-représentation elliptique ˜
π de K ˜
M (R), la fonction
X → I
K ˜
M (˜ π, X, , ˜
M (f ))
est à décroissance rapide ; sa transformée de Fourier λ → I
K ˜
M (˜ π, λ, , ˜
M (f ))
sur iA
∗
˜
M
se prolonge en une fonction méromorphe sur A
∗
˜
M,C
qui est à décroissance rapide dans les bandes verticales ; ses pôles sont de la forme décrite en
5.2(3).
Preuve. On rappelle qu’une ω-représentation elliptique de K ˜
M (R) est une telle
ω-représentation d’une composante connexe ˜
M p (R). L’assertion résulte du fait que
K ˜
M (f ) est la somme d’une fonction à support compact et de
c θ
K ˜
G
K ˜
M
(f )−
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(f ).
On a déjà prouvé (cf. 5.11 et 6.6) que cette dernière fonction vérifiait la propriété
(2). Cette propriété est aussi vérifiée pour une fonction à support compact. D’où
l’assertion.
Soulignons que l’on n’affirme pas que les hyperplans polaires sont en nombre fini.