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Chapitre IX. Le cas archimédien
Or cette fonction est nulle par hypothèse de récurrence puisque dim(A ˜
M ) <
dim(A ˜
M ). La différence entre les deux limites (9) est calculée par les propositions
4.1 et 4.3. Le même argument montre qu’elle est nulle. Cela prouve (8).
Supposons maintenant que α soit imaginaire au lieu d’être réelle. Le même
résultat vaut : la racine α appartient à Σ
Mη (T
θ,0 ), le point X 0 appartient à t 1 (R)
et l’assertion résulte de (4). Pour une racine α qui n’est ni réelle, ni imaginaire,
le sous-espace des éléments de t
θ (R) annulés par α est de codimension deux : un
tel élément est annulé par α et par son conjugué. Mais alors, la fonction X →
Δ η (X)ϕ f, ˜
T (exp(X)η) et l’ensemble de racines Σ
Gη (T
θ,0 ) vérifient les hypothèses
du lemme 21 de [76]. Ce lemme conclut que cette fonction se prolonge en une
fonction C
∞ au voisinage de 0. Cela prouve (3) et la proposition.
IX.8.3 Définition globale
Pour f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)), posons
c ϕ f =
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(f ) −
c θ
K ˜
G
K ˜
M (f ).
C’est un élément de I ac (K ˜
M (R), ω, K) ⊗ Mes(M (R)). Un argument de descente
déjà utilisé plusieurs fois montre qu’il est cuspidal.
Proposition. Soit f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). Il existe une fonction φ ∈
I cusp (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) de sorte que l’on ait l’égalité
I
˜
M (γ, φ −
c ϕ f ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) − I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f )
pour tout γ ∈ D orb (K ˜
M (R), ω)⊗Mes(M (R))
∗ dont le support est formé d’éléments
fortement réguliers dans ˜
G.
Preuve. On reprend le début de la preuve de 7.4. On n’impose plus l’hypothèse
(Hyp) de ce paragraphe. Le terme qui était annulé par cette hypothèse ne l’est
plus et l’égalité (1) de ce paragraphe se transforme en
c I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) −
c I
K ˜
G
K ˜
M (γ, f ) = I
K ˜
M (γ,
c ϕ f ) + (I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) − I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f )).
Le deuxième terme du membre de droite est localement une intégrale orbitale
d’après la proposition 8.2. Il en est trivialement de même du premier terme. Donc
le membre de gauche est localement une intégrale orbitale. Or il est à support
dans un ensemble Γ
M où Γ est compact. Par partition de l’unité, on peut trouver
φ ∈ I(K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) de sorte que ce membre de gauche soit égal à
I
˜
M (γ, φ). On obtient la formule de l’énoncé. Les formules de descente habituelles
et les hypothèses de récurrence entraînent que le membre de droite de cette formule
de l’énoncé est nul si le support de γ n’est pas formé d’éléments elliptiques. Cela
entraîne que φ −
c ϕ f est cuspidale, donc aussi φ.
Chapitre IX. Le cas archimédien
Or cette fonction est nulle par hypothèse de récurrence puisque dim(A ˜
M ) <
dim(A ˜
M ). La différence entre les deux limites (9) est calculée par les propositions
4.1 et 4.3. Le même argument montre qu’elle est nulle. Cela prouve (8).
Supposons maintenant que α soit imaginaire au lieu d’être réelle. Le même
résultat vaut : la racine α appartient à Σ
Mη (T
θ,0 ), le point X 0 appartient à t 1 (R)
et l’assertion résulte de (4). Pour une racine α qui n’est ni réelle, ni imaginaire,
le sous-espace des éléments de t
θ (R) annulés par α est de codimension deux : un
tel élément est annulé par α et par son conjugué. Mais alors, la fonction X →
Δ η (X)ϕ f, ˜
T (exp(X)η) et l’ensemble de racines Σ
Gη (T
θ,0 ) vérifient les hypothèses
du lemme 21 de [76]. Ce lemme conclut que cette fonction se prolonge en une
fonction C
∞ au voisinage de 0. Cela prouve (3) et la proposition.
IX.8.3 Définition globale
Pour f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)), posons
c ϕ f =
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(f ) −
c θ
K ˜
G
K ˜
M (f ).
C’est un élément de I ac (K ˜
M (R), ω, K) ⊗ Mes(M (R)). Un argument de descente
déjà utilisé plusieurs fois montre qu’il est cuspidal.
Proposition. Soit f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). Il existe une fonction φ ∈
I cusp (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) de sorte que l’on ait l’égalité
I
˜
M (γ, φ −
c ϕ f ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) − I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f )
pour tout γ ∈ D orb (K ˜
M (R), ω)⊗Mes(M (R))
∗ dont le support est formé d’éléments
fortement réguliers dans ˜
G.
Preuve. On reprend le début de la preuve de 7.4. On n’impose plus l’hypothèse
(Hyp) de ce paragraphe. Le terme qui était annulé par cette hypothèse ne l’est
plus et l’égalité (1) de ce paragraphe se transforme en
c I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) −
c I
K ˜
G
K ˜
M (γ, f ) = I
K ˜
M (γ,
c ϕ f ) + (I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) − I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f )).
Le deuxième terme du membre de droite est localement une intégrale orbitale
d’après la proposition 8.2. Il en est trivialement de même du premier terme. Donc
le membre de gauche est localement une intégrale orbitale. Or il est à support
dans un ensemble Γ
M où Γ est compact. Par partition de l’unité, on peut trouver
φ ∈ I(K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) de sorte que ce membre de gauche soit égal à
I
˜
M (γ, φ). On obtient la formule de l’énoncé. Les formules de descente habituelles
et les hypothèses de récurrence entraînent que le membre de droite de cette formule
de l’énoncé est nul si le support de γ n’est pas formé d’éléments elliptiques. Cela
entraîne que φ −
c ϕ f est cuspidale, donc aussi φ.