IX.8. L’application ˜
M
1115
Les hypothèses de récurrence assurent que tous les termes sont nuls, sauf celui
pour ˜
L = ˜
M . Celui-ci est égal à ∂ z T θ,0 ϕ f, ˜
T (exp(X)η). D’où (6).
L’algèbre Sym(t
θ ) est de type fini sur l’image de l’homomorphisme d’HarishChandra. On peut donc fixer des éléments U 1 , . . . , U k ∈ Sym(t
θ ) de sorte que tout
U ∈ Sym(t
θ ) s’écrive U =
i=1,...,k U i z i,T θ,0 , avec des z i ∈ Z(G). On a alors
∂ U ϕ f, ˜
T (exp(X)η) =
i=1,...,k
∂ Ui ϕ zif, ˜
T (exp(X)η).
L’assertion (5) associe à chaque U i un entier N i . En prenant pour N un majorant
de ces entiers, on obtient qu’il existe N tel que, pour tout U ∈ Sym(t
θ ) et pour
tout f ∈ I( ˜
G(R), ω), il existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration
|∂ U ϕ f, ˜
T (exp(X)η)| ≤ cD
Gη (X)
−N
pour tout X ∈ t 3 (R) ∩ u. On applique alors le lemme 8.1. On obtient que, pour
tout U ∈ Sym(t
θ ) et pour tout f ∈ I( ˜
G(R), ω), la fonction ∂ U ϕ f, ˜
T (exp(X)η) est
bornée sur t 3 (R) ∩ u. Joint à (4), ce résultat implique
(7) pour tout U ∈ Sym(t
θ ) et pour tout f ∈ I( ˜
G(R), ω), la fonction ∂ U ϕ f, ˜
T (X)
est bornée sur Ω ∩ u.
Il résulte de (4) et (7) que cette fonction se prolonge continuement à l’adhérence de Ω ∩ u et même à un voisinage de cette adhérence, cf. [29] remarque 3.2.
Soit α ∈ Σ
Gη (T
θ,0 ) une racine réelle. Soit X 0 ∈ u tel que l’ensemble des
éléments de Σ
Gη (T
θ,0 ) annulant X 0 soit {±α}. On va prouver
(8) la fonction X → Δ η (X)ϕ f, ˜
T (exp(X)η) se prolonge en une fonction C
∞ au
voisinage de X 0 .
Puisque α est réelle, la fonction Δ η (X) est constante au voisinage de X 0 et
on peut l’oublier. Le point X 0 appartient aux adhérences de deux composantes
connexes Ω 1 et Ω 2 séparées par l’hyperplan annulé par α. Soit U ∈ Sym(t
θ ). Il suffit
de montrer que les deux prolongements de ∂ U ϕ f, ˜
T (exp(X)η) dans les adhérences
de ces deux composantes coïncident sur cet hyperplan. Soit X 1 un élément de cet
hyperplan assez voisin de X 0 . Posons η 1 = exp(X 1 )η. Le couple (η 1 , ˜
T ) vérifie les
hypothèses de la section 4 et on utilise les notations de cette section.Les valeurs
en X 1 des prolongements ci-dessus sont les deux limites
(9)
lim
r→0+
∂ U ϕ f, ˜
T (exp(rH d )η 1 ) et lim
r→0−
∂ U ϕ f, ˜
T (exp(rH d )η 1 ).
Il s’agit de prouver qu’elles sont égales. Pour X voisin de 0, on a
∂ U ϕ f, ˜
T (exp(X)η 1 ) = ∂ U I
K ˜
G,E,mod
K ˜
M
(exp(X)η 1 , ω, f) − ∂ U I
K ˜
G,mod
K ˜
M
(exp(X)η 1 , ω, f).
En effet, si on oublie les exposants mod, c’est la définition. Ajouter ces exposants
ajoute au terme de droite l’image par ∂ U de la fonction
|ˇ α| log(|α(X)|)(I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η 1 , ω, f) − I
K ˜
G
K ˜
M
(exp(X)η 1 , ω, f)).
M
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Les hypothèses de récurrence assurent que tous les termes sont nuls, sauf celui
pour ˜
L = ˜
M . Celui-ci est égal à ∂ z T θ,0 ϕ f, ˜
T (exp(X)η). D’où (6).
L’algèbre Sym(t
θ ) est de type fini sur l’image de l’homomorphisme d’HarishChandra. On peut donc fixer des éléments U 1 , . . . , U k ∈ Sym(t
θ ) de sorte que tout
U ∈ Sym(t
θ ) s’écrive U =
i=1,...,k U i z i,T θ,0 , avec des z i ∈ Z(G). On a alors
∂ U ϕ f, ˜
T (exp(X)η) =
i=1,...,k
∂ Ui ϕ zif, ˜
T (exp(X)η).
L’assertion (5) associe à chaque U i un entier N i . En prenant pour N un majorant
de ces entiers, on obtient qu’il existe N tel que, pour tout U ∈ Sym(t
θ ) et pour
tout f ∈ I( ˜
G(R), ω), il existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration
|∂ U ϕ f, ˜
T (exp(X)η)| ≤ cD
Gη (X)
−N
pour tout X ∈ t 3 (R) ∩ u. On applique alors le lemme 8.1. On obtient que, pour
tout U ∈ Sym(t
θ ) et pour tout f ∈ I( ˜
G(R), ω), la fonction ∂ U ϕ f, ˜
T (exp(X)η) est
bornée sur t 3 (R) ∩ u. Joint à (4), ce résultat implique
(7) pour tout U ∈ Sym(t
θ ) et pour tout f ∈ I( ˜
G(R), ω), la fonction ∂ U ϕ f, ˜
T (X)
est bornée sur Ω ∩ u.
Il résulte de (4) et (7) que cette fonction se prolonge continuement à l’adhérence de Ω ∩ u et même à un voisinage de cette adhérence, cf. [29] remarque 3.2.
Soit α ∈ Σ
Gη (T
θ,0 ) une racine réelle. Soit X 0 ∈ u tel que l’ensemble des
éléments de Σ
Gη (T
θ,0 ) annulant X 0 soit {±α}. On va prouver
(8) la fonction X → Δ η (X)ϕ f, ˜
T (exp(X)η) se prolonge en une fonction C
∞ au
voisinage de X 0 .
Puisque α est réelle, la fonction Δ η (X) est constante au voisinage de X 0 et
on peut l’oublier. Le point X 0 appartient aux adhérences de deux composantes
connexes Ω 1 et Ω 2 séparées par l’hyperplan annulé par α. Soit U ∈ Sym(t
θ ). Il suffit
de montrer que les deux prolongements de ∂ U ϕ f, ˜
T (exp(X)η) dans les adhérences
de ces deux composantes coïncident sur cet hyperplan. Soit X 1 un élément de cet
hyperplan assez voisin de X 0 . Posons η 1 = exp(X 1 )η. Le couple (η 1 , ˜
T ) vérifie les
hypothèses de la section 4 et on utilise les notations de cette section.Les valeurs
en X 1 des prolongements ci-dessus sont les deux limites
(9)
lim
r→0+
∂ U ϕ f, ˜
T (exp(rH d )η 1 ) et lim
r→0−
∂ U ϕ f, ˜
T (exp(rH d )η 1 ).
Il s’agit de prouver qu’elles sont égales. Pour X voisin de 0, on a
∂ U ϕ f, ˜
T (exp(X)η 1 ) = ∂ U I
K ˜
G,E,mod
K ˜
M
(exp(X)η 1 , ω, f) − ∂ U I
K ˜
G,mod
K ˜
M
(exp(X)η 1 , ω, f).
En effet, si on oublie les exposants mod, c’est la définition. Ajouter ces exposants
ajoute au terme de droite l’image par ∂ U de la fonction
|ˇ α| log(|α(X)|)(I
K ˜
G,E
K ˜
M
(exp(X)η 1 , ω, f) − I
K ˜
G
K ˜
M
(exp(X)η 1 , ω, f)).