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Chapitre IX. Le cas archimédien
On ne suppose plus que η est ˜
G-équisingulier. Notons t 1 , resp. t 2 , le sousensemble des X ∈ t
θ tels que α(X) = 0 pour tout α ∈ Σ
Gη (T
θ,0 ) − Σ
Mη (T
θ,0 ),
resp. α ∈ Σ
Gη (T
θ,0 ). Soit X 0 ∈ t 1 (R), supposons X 0 proche de 0. Le point
η 0 = exp(X 0 )η est ˜
G-équisingulier. On vient de prouver que la fonction X
→
Δ η0 (X
)ϕ f, ˜
T (exp(X
)η 0 ) se prolongeait en une fonction C
∞ au voisinage de 0.
Mais on a l’égalité Δ η0 (X
) = Δ η (X 0 +X
) pour X
proche de 0, avec un ∈ {±1}
constant. Donc la fonction X → Δ η (X)ϕ f, ˜
T (exp(X)η) se prolonge en une fonction
C
∞ au voisinage de X 0 . Soit Ω une composante connexe de t 1 (R). On obtient
(4) il existe un voisinage u de 0 dans t
θ (R) tel que la fonction
X → Δ η (X)ϕ f, ˜
T (exp(X)η)
se prolonge en une fonction C
∞ sur Ω ∩ u.
Considérons le groupe des g ∈ G tels que ad g (η) = η et ad g ( ˜
T ) = ˜
T . Il
contient T
θ comme sous-groupe distingué d’indice fini. Notons W le quotient. Le
groupe W agit naturellement dans t
θ . Pour w ∈ W − {1}, l’ensemble des points
fixes est un sous-espace propre. Notons t 3 le complémentaire dans t 2 de la réunion
de ces sous-espaces. On voit que, pour X ∈ t 3 (R) assez proche de 0, l’élément
exp(X)η est fortement régulier dans ˜
G. Quitte à restreindre u, la propriété 3.2(4)
et le lemme 3.4 entraînent que
(5) pour tout U ∈ Sym(t
θ ), il existe un entier N et, pour tout f ∈ I( ˜
G(R), ω), il
existe c > 0 de sorte que l’on ait la majoration
|∂ U ϕ f, ˜
T (exp(X)η)| ≤ cD
Gη (X)
−N
pour tout X ∈ t 3 (R) ∩ u.
Rappelons l’homomorphisme d’Harish-Chandra, que l’on peut interpréter ici
comme un homomorphisme
Z(G) → Sym(t
θ )
z
→
z T θ,0 .
Montrons que
(6) on a l’égalité
ϕ zf, ˜
T (exp(X)η) = ∂ z T θ,0 ϕ f, ˜
T (exp(X)η)
pour tout X ∈ t 3 (R).
En effet, la proposition 2.5 conduit à l’égalité
ϕ zf, ˜
T (exp(X)η) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
δ
˜
L
˜
M
(exp(X)η, z L )
I
K ˜
G,E
K ˜
L
(exp(X)η, ω, f ) − I
K ˜
G
K ˜
L
(exp(X)η, ω, f )
.