IX.8. L’application ˜
M
1113
Soit m ∈ Z M (η; R). Posons ˜
T
= ad m ( ˜
T ) et transportons par ad m la mesure
sur T
θ,0 (R) en une mesure sur T
,θ,0 (R). Il est clair que, pour presque tout γ ∈
˜
T (R), on a l’égalité
(1)
ϕ f, ˜
T (mγm
−1 ) = ω(m)ϕ f, ˜
T (γ).
On a
(2) si ˜
T n’est pas elliptique dans ˜
M , alors ϕ f, ˜
T = 0.
En effet, il existe un espace de Levi ˜
R ˜
M tel que ˜
T ⊂ ˜
R. Quitte à conjuguer
˜
T , cet espace donne naissance à un K-espace de Levi K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ). D’après les
formules de descente [II] lemme 1.7 et 1.15(1), on a l’égalité
ϕ f, ˜
T (γ) =
K ˜
L∈L(K ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
I
K ˜
L,E
K ˜
R
(γ, ω, f K ˜
L,ω ) − I
K ˜
L
K ˜
R
(γ, ω, f K ˜
L,ω )
.
Les espaces K ˜
L intervenant sont des K-espaces propres de K ˜
G. Nos hypothèses de
récurrence assurent que tous les termes de ce développement sont nuls. D’où (2).
Supposons maintenant ˜
T elliptique. Notons Σ
Gη (T
θ,0 ) et Σ
Mη (T
θ,0 ) les ensembles de racines de T
θ,0 dans G η , resp. M η . L’hypothèse d’ellipticité entraîne
que tous les éléments de Σ
Mη (T
θ,0 ) sont imaginaires. Par contre, aucun élément
de Σ
Gη (T
θ,0 ) − Σ
Mη (T
θ,0 ) n’est imaginaire : un tel élément se restreint non trivialement à A Mη . On fixe un sous-ensemble positif dans Σ
Mη (T
θ,0 ) et on définit
une fonction Δ η presque partout sur t
θ (R) par
Δ η (X) =
α∈Σ
Mη (T θ,0 ),α>0
sgn(iα(X)).
On va prouver
(3) si ˜
T est elliptique dans ˜
M , la fonction X → Δ η (X)ϕ f, ˜
T (exp(X)η) se prolonge
en une fonction C
∞ dans un voisinage de 0 dans t
θ (R).
Admettons ce résultat. La théorie de la descente et les résultats de Bouaziz
et Shelstad caractérisent les fonctions sur les tores ˜
T comme ci-dessus qui sont au
voisinage de η les intégrales orbitales d’une fonction C
∞ et cuspidale sur ˜
M (R).
Ce sont précisément celles qui vérifient les propriétés (1), (2) et (3). On obtient
alors l’assertion de la proposition.
Prouvons (3). On suppose donc ˜
T elliptique dans ˜
M . Supposons d’abord que
le point η est ˜
G-équisingulier. D’après [V] 1.3 et lemme 1.9, il existe une fonction
ϕ ∈ I( ˜
M (R), ω) telle que, pour tout sous-tore tordu maximal ˜
T
de ˜
M tel que
η ∈ ˜
T
(R) et pour tout γ ∈ ˜
T
(R) ∩ ˜
G reg (R) assez voisin de η, on ait l’égalité
ϕ f, ˜
T (γ) = I
˜
M (γ, ω, ϕ).
La fonction ϕ est cuspidale d’après (2). Alors la propriété (3) résulte des propriétés
habituelles des intégrales orbitales.
M
1113
Soit m ∈ Z M (η; R). Posons ˜
T
= ad m ( ˜
T ) et transportons par ad m la mesure
sur T
θ,0 (R) en une mesure sur T
,θ,0 (R). Il est clair que, pour presque tout γ ∈
˜
T (R), on a l’égalité
(1)
ϕ f, ˜
T (mγm
−1 ) = ω(m)ϕ f, ˜
T (γ).
On a
(2) si ˜
T n’est pas elliptique dans ˜
M , alors ϕ f, ˜
T = 0.
En effet, il existe un espace de Levi ˜
R ˜
M tel que ˜
T ⊂ ˜
R. Quitte à conjuguer
˜
T , cet espace donne naissance à un K-espace de Levi K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ). D’après les
formules de descente [II] lemme 1.7 et 1.15(1), on a l’égalité
ϕ f, ˜
T (γ) =
K ˜
L∈L(K ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
I
K ˜
L,E
K ˜
R
(γ, ω, f K ˜
L,ω ) − I
K ˜
L
K ˜
R
(γ, ω, f K ˜
L,ω )
.
Les espaces K ˜
L intervenant sont des K-espaces propres de K ˜
G. Nos hypothèses de
récurrence assurent que tous les termes de ce développement sont nuls. D’où (2).
Supposons maintenant ˜
T elliptique. Notons Σ
Gη (T
θ,0 ) et Σ
Mη (T
θ,0 ) les ensembles de racines de T
θ,0 dans G η , resp. M η . L’hypothèse d’ellipticité entraîne
que tous les éléments de Σ
Mη (T
θ,0 ) sont imaginaires. Par contre, aucun élément
de Σ
Gη (T
θ,0 ) − Σ
Mη (T
θ,0 ) n’est imaginaire : un tel élément se restreint non trivialement à A Mη . On fixe un sous-ensemble positif dans Σ
Mη (T
θ,0 ) et on définit
une fonction Δ η presque partout sur t
θ (R) par
Δ η (X) =
α∈Σ
Mη (T θ,0 ),α>0
sgn(iα(X)).
On va prouver
(3) si ˜
T est elliptique dans ˜
M , la fonction X → Δ η (X)ϕ f, ˜
T (exp(X)η) se prolonge
en une fonction C
∞ dans un voisinage de 0 dans t
θ (R).
Admettons ce résultat. La théorie de la descente et les résultats de Bouaziz
et Shelstad caractérisent les fonctions sur les tores ˜
T comme ci-dessus qui sont au
voisinage de η les intégrales orbitales d’une fonction C
∞ et cuspidale sur ˜
M (R).
Ce sont précisément celles qui vérifient les propriétés (1), (2) et (3). On obtient
alors l’assertion de la proposition.
Prouvons (3). On suppose donc ˜
T elliptique dans ˜
M . Supposons d’abord que
le point η est ˜
G-équisingulier. D’après [V] 1.3 et lemme 1.9, il existe une fonction
ϕ ∈ I( ˜
M (R), ω) telle que, pour tout sous-tore tordu maximal ˜
T
de ˜
M tel que
η ∈ ˜
T
(R) et pour tout γ ∈ ˜
T
(R) ∩ ˜
G reg (R) assez voisin de η, on ait l’égalité
ϕ f, ˜
T (γ) = I
˜
M (γ, ω, ϕ).
La fonction ϕ est cuspidale d’après (2). Alors la propriété (3) résulte des propriétés
habituelles des intégrales orbitales.