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Chapitre IX. Le cas archimédien
Notons Diff
cst (V ) l’espace des opérateurs différentiels à coefficients constants sur
V . Considérons une famille finie (l i ) i=1,...,k de formes linéaires non nulles sur V .
Notons V reg = {v ∈ V ; ∀i = 1, . . . , k, l i (v) = 0}.
Lemme. Soit q ∈ N. Pour tout D ∈ Diff
cst (V ), il existe un nombre fini D 1 ,. . .,
D n d’éléments de Diff
cst (V ) tels que la propriété suivante soit vérifiée. Soit une
fonction c : Diff
cst (V ) → R ≥0 et soit ϕ : V reg → C une fonction C
∞ . Supposons
que, pour tout D
∈ Diff
cst (V ) et tout v ∈ B ∩ V reg , on ait l’inégalité
|D
ϕ(v)| ≤ c(D
)
𚵿
i=1,...,k
|l i (v)|
−q .
Alors pour tout v ∈ B ∩ V reg , on a l’inégalité
|Dϕ(v)| ≤ c(D 1 ) + · · · + c(D n ).
IX.8.2 Définition locale
On considère un triplet (KG, K ˜
G, a) et un K-espace de Levi K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ) de
K ˜
G. Dans ce paragraphe, on fixe une composante connexe ˜
M de K ˜
M , on note ˜
G
la composante correspondante de K ˜
G.
Proposition. Soient f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)) et η un élément semi-simple
de ˜
M (R). Alors il existe un voisinage ˜
U de η dans ˜
M (R) et une fonction ϕ ∈
I cusp ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)) telle que
I
˜
M (γ, ϕ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) − I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f )
pour tout γ ∈ D orb ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ dont le support est formé d’éléments
de ˜
U qui sont fortement réguliers dans ˜
G.
Preuve. Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar dm sur M (R), dg sur G(R)
et on écrit f = f ⊗ dg avec f ∈ I(K ˜
G(R), ω). Soit ˜
T un sous-tore tordu maximal
de ˜
M tel que η ∈ ˜
T (R). On fixe une mesure de Haar dt sur T
θ,0 (R). Pour γ ∈
˜
T (R) ∩ ˜
G reg (R), l’intégrale orbitale sur ˜
M (R) associée à γ et dt est bien définie.
Notons-la γ pour un instant. On pose simplement
I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, ω, f ) = I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ⊗ dg).
On définit de façon similaire I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, ω, f ). On définit une fonction ϕ f, ˜
T presque
partout sur ˜
T (R) par
ϕ f, ˜
T (γ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, ω, f ) − I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, ω, f ).