IX.8. L’application ˜
M
1111
Par définition du transfert des distributions, le dernier terme est aussi
S
M
(δ,
c θ
˜
G
˜
M (f )
M
).
On obtient alors
(1)
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) −
c I
˜
G
˜
M (transfert(δ), f ) = S
M
(δ,
c ϕ).
Transférons la formule du lemme 5.12. On obtient
c θ
˜
G
˜
M (f )
M
=
˜
L∈L( ˜
M )
(θ
rat, ˜
L
˜
M
◦
c θ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))
M
.
Pour ˜
L = ˜
M , θ
rat, ˜
M
˜
M
est l’identité. Pour ˜
L = ˜
G,
c θ
rat, ˜
G
˜
G
est l’identité. Pour ˜
L = ˜
M ,
˜
L 𨐾 = ˜
G, on peut appliquer la formule 6.11(A) par récurrence :
(θ
rat, ˜
L
˜
M
◦
c θ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))
M
= θ
rat, ˜
L,E
˜
M
(M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
L
(f )
M
).
La formule ci-dessus se récrit
c θ
˜
G
˜
M (f )
M
=
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )
M
+ θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )
M
+
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M, ˜
L = ˜
G
θ
rat, ˜
L,E
˜
M
(M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
L
(f )
M
).
Utilisons la formule du lemme 7.2(iii). Dans cette formule, on peut remplacer
le terme indexé par ˜
L = ˜
G par θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f ) puisque
c θ
rat, ˜
G
˜
G
est l’identité. On
obtient
c θ
˜
G
˜
M (f )
M
=
c θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f ) + θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f )
+
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M, ˜
L = ˜
G
θ
rat, ˜
L,E
˜
M
(M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
L
(f )
M
).
En comparant les deux formules ci-dessus, on obtient l’égalité
(2)
c ϕ =
c ϕ
rat + ϕ
rat .
A partir des égalités (1) et (2), la preuve devient similaire à celles des deux paragraphes précédents. On doit utiliser la variante 6.11(2) de la propriété 6.6(1). On
laisse les détails au lecteur.
IX.8 L’application ˜
M
IX.8.1 Un lemme élémentaire
On rappelle le lemme 6.2 de [22] dont nous ferons usage plusieurs fois. Considérons
un espace V = R
n , notons B ⊂ V la boule fermée de centre 0 et de rayon 1.