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Chapitre IX. Le cas archimédien
que ci-dessus, la fonction
c ϕ
rat est cuspidale et la nullité précédente pour toute
composante ˜
M et tout ˜
π elliptique implique que la fonction
c ϕ
rat est nulle. Enfin
l’égalité (2) entraîne que
c ϕ = 0. Cela prouve la proposition 6.7. La proposition
6.10 résulte maintenant de (1).
On a prouvé ci-dessus l’égalité du lemme 6.9 pour les ˜
π elliptiques. Pour
˜
π ∈ D temp,0 (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ , les formules des lemmes 5.7 et 6.8 et
l’égalité maintenant prouvée θ
rat, ˜
G,E
K ˜
M
= θ
rat, ˜
G
K ˜
M
entraînent que
I
K ˜
M (ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π, λ) − ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π, λ), f ) = 0
pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
et tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). Comme ci-dessus,
l’usage du lemme 5.6 et de la proposition 5.15 démontrent l’égalité ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π) =
ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π).
IX.7.5 Variante dans le cas quasi-déployé et à torsion intérieure
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure et un espace de Levi ˜
M . Soit M
= (M
, M
, ζ) une donnée endoscopique elliptique et
relevante de (M, ˜
M ). On va prouver les assertions (A), (B) et (C) de 6.11. Soit
f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). Comme toujours, ces assertions sont tautologiques
si ˜
M = ˜
G. On suppose ˜
M = ˜
G. On pose
c ϕ =
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ) − (
c θ
˜
G
˜
M (f ))
M
,
c ϕ
rat =
c θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f ) − (
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
M
,
ϕ
rat = θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f ) − (θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
M
.
Soit δ ∈ D
st
orb, ˜
G -reg
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ . D’après 5.13(5) et le lemme 7.1(iii), on a
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) = S
M
(δ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )) +
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
I
˜
L,E
˜
M
(M
, δ,
c θ
˜
G
˜
L (f ))
et
c I
˜
G
˜
M (transfert(δ), f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L
˜
M
(transfert(δ),
c θ
˜
G
˜
L (f )).
On a prouvé en [V] proposition 1.13 que l’on avait l’égalité
I
˜
L,E
˜
M
(M
, δ, ϕ) = I
˜
L
˜
M
(transfert(δ), ϕ)
pour tout ϕ ∈ I( ˜
L(R)) ⊗ Mes(L(R)). Cette égalité s’étend immédiatement à ϕ ∈
I ac ( ˜
L(R)) ⊗ Mes(L(R)). Par différence, on obtient
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) −
c I
˜
G
˜
M (transfert(δ), f )
= S
M
(δ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )) − I
˜
M (transfert(δ),
c θ
˜
G
˜
M (f )).
Chapitre IX. Le cas archimédien
que ci-dessus, la fonction
c ϕ
rat est cuspidale et la nullité précédente pour toute
composante ˜
M et tout ˜
π elliptique implique que la fonction
c ϕ
rat est nulle. Enfin
l’égalité (2) entraîne que
c ϕ = 0. Cela prouve la proposition 6.7. La proposition
6.10 résulte maintenant de (1).
On a prouvé ci-dessus l’égalité du lemme 6.9 pour les ˜
π elliptiques. Pour
˜
π ∈ D temp,0 (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ , les formules des lemmes 5.7 et 6.8 et
l’égalité maintenant prouvée θ
rat, ˜
G,E
K ˜
M
= θ
rat, ˜
G
K ˜
M
entraînent que
I
K ˜
M (ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π, λ) − ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π, λ), f ) = 0
pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
et tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). Comme ci-dessus,
l’usage du lemme 5.6 et de la proposition 5.15 démontrent l’égalité ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π) =
ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π).
IX.7.5 Variante dans le cas quasi-déployé et à torsion intérieure
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure et un espace de Levi ˜
M . Soit M
= (M
, M
, ζ) une donnée endoscopique elliptique et
relevante de (M, ˜
M ). On va prouver les assertions (A), (B) et (C) de 6.11. Soit
f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). Comme toujours, ces assertions sont tautologiques
si ˜
M = ˜
G. On suppose ˜
M = ˜
G. On pose
c ϕ =
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ) − (
c θ
˜
G
˜
M (f ))
M
,
c ϕ
rat =
c θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f ) − (
c θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
M
,
ϕ
rat = θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f ) − (θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
M
.
Soit δ ∈ D
st
orb, ˜
G -reg
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ . D’après 5.13(5) et le lemme 7.1(iii), on a
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) = S
M
(δ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )) +
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
I
˜
L,E
˜
M
(M
, δ,
c θ
˜
G
˜
L (f ))
et
c I
˜
G
˜
M (transfert(δ), f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L
˜
M
(transfert(δ),
c θ
˜
G
˜
L (f )).
On a prouvé en [V] proposition 1.13 que l’on avait l’égalité
I
˜
L,E
˜
M
(M
, δ, ϕ) = I
˜
L
˜
M
(transfert(δ), ϕ)
pour tout ϕ ∈ I( ˜
L(R)) ⊗ Mes(L(R)). Cette égalité s’étend immédiatement à ϕ ∈
I ac ( ˜
L(R)) ⊗ Mes(L(R)). Par différence, on obtient
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) −
c I
˜
G
˜
M (transfert(δ), f )
= S
M
(δ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )) − I
˜
M (transfert(δ),
c θ
˜
G
˜
M (f )).