IX.7. Les preuves des assertions de la section 6
1109
La première fonction de droite n’a qu’un nombre fini d’hyperplans polaires. Si on
fixe un ensemble fini Ω de K-types, ces hyperplans restent dans un ensemble fini
indépendant de f pourvu que f ∈ I(K ˜
G(R), ω, Ω) ⊗ Mes(G(R)). Il en est donc de
même de la deuxième fonction. On décompose ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π) − ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π) en
ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π) − ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π) =
j=1,...,k
u j ⊗ ˜
π j ,
où
– u j ∈ U
˜
G
˜
M
et u j = 0 pour tout j ;
– ˜
π j ∈ D ell,0 (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ pour tout j et la famille (˜ π j ) j=1,...,k
est linéairement indépendante.
Le lemme 5.6 bis se généralise immédiatement à notre K-espace K ˜
G. Appliqué à la famille (˜ π j ) j=1,...,k , il nous fournit un ensemble fini Ω de K-types et
une réunion finie H de sous-espaces affines de A
∗
˜
M,C
. Quitte à accroître cet ensemble, on peut supposer que les fonctions du membre de droite de (3) n’ont pas
de pôle hors de H. A tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω, Ω) ⊗ Mes(G(R)), on associe la famille e f = (e f ,j ) j=1,...,k de fonctions holomorphes sur A
∗
˜
M,C
définie par e f ,j (λ) =
I
K ˜
M (˜ π j , f ˜
M,ω ). Le lemme 5.6 assure que, pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
−H, on peut trouver
f ∈ I(K ˜
G(R), ω, Ω) ⊗ Mes(G(R)) de sorte que e f ,1 (λ) = 1 tandis que e f ,j (λ) = 0
si j = 2, . . . , k. Puisque
I
K ˜
M (ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π, λ) − ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π, λ), f K ˜
M ,ω ) =
j=1,...,k
u j (λ)e f ,j (λ),
cette dernière somme est holomorphe hors de H pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω, Ω) ⊗
Mes(G(R)). La proposition 5.15 assure alors que u 1 = 0, ce qui est contradictoire
avec nos hypothèses sauf si k = 0. On a donc k = 0, ce qui équivaut à l’égalité
ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π) = ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π). En remontant le calcul, cela assure que I
K ˜
M (˜ π, X, ϕ
rat ) = 0.
Les hypothèses de récurrence et les formules habituelles de descente impliquent
que ϕ
rat est cuspidale. La nullité précédente pour toute composante connexe ˜
M
et tout ˜
π elliptique impliquent alors ϕ
rat = 0.
Revenons à la situation de la formule (3). Le deuxième terme du membre de
droite est maintenant nul. Donc le premier est holomorphe puisque le membre de
gauche l’est. Il en résulte que la transformée de Fourier X → I
K ˜
M (˜ π, ν, X,
c ϕ
rat )
ne dépend pas du point ν choisi. Par différence entre la formule 6.6(1) et celle de
la proposition 5.10, on a
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
K ˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c ϕ
rat ) = 0.
On peut remplacer chaque ν ˜
S par 0 et, par un raisonnement déjà fait plusieurs
fois, on en déduit que I
K ˜
M (˜ π, X,
c ϕ
rat ) = 0 pour tout X. Pour la même raison
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La première fonction de droite n’a qu’un nombre fini d’hyperplans polaires. Si on
fixe un ensemble fini Ω de K-types, ces hyperplans restent dans un ensemble fini
indépendant de f pourvu que f ∈ I(K ˜
G(R), ω, Ω) ⊗ Mes(G(R)). Il en est donc de
même de la deuxième fonction. On décompose ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π) − ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π) en
ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π) − ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π) =
j=1,...,k
u j ⊗ ˜
π j ,
où
– u j ∈ U
˜
G
˜
M
et u j = 0 pour tout j ;
– ˜
π j ∈ D ell,0 (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ pour tout j et la famille (˜ π j ) j=1,...,k
est linéairement indépendante.
Le lemme 5.6 bis se généralise immédiatement à notre K-espace K ˜
G. Appliqué à la famille (˜ π j ) j=1,...,k , il nous fournit un ensemble fini Ω de K-types et
une réunion finie H de sous-espaces affines de A
∗
˜
M,C
. Quitte à accroître cet ensemble, on peut supposer que les fonctions du membre de droite de (3) n’ont pas
de pôle hors de H. A tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω, Ω) ⊗ Mes(G(R)), on associe la famille e f = (e f ,j ) j=1,...,k de fonctions holomorphes sur A
∗
˜
M,C
définie par e f ,j (λ) =
I
K ˜
M (˜ π j , f ˜
M,ω ). Le lemme 5.6 assure que, pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
−H, on peut trouver
f ∈ I(K ˜
G(R), ω, Ω) ⊗ Mes(G(R)) de sorte que e f ,1 (λ) = 1 tandis que e f ,j (λ) = 0
si j = 2, . . . , k. Puisque
I
K ˜
M (ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π, λ) − ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π, λ), f K ˜
M ,ω ) =
j=1,...,k
u j (λ)e f ,j (λ),
cette dernière somme est holomorphe hors de H pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω, Ω) ⊗
Mes(G(R)). La proposition 5.15 assure alors que u 1 = 0, ce qui est contradictoire
avec nos hypothèses sauf si k = 0. On a donc k = 0, ce qui équivaut à l’égalité
ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π) = ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π). En remontant le calcul, cela assure que I
K ˜
M (˜ π, X, ϕ
rat ) = 0.
Les hypothèses de récurrence et les formules habituelles de descente impliquent
que ϕ
rat est cuspidale. La nullité précédente pour toute composante connexe ˜
M
et tout ˜
π elliptique impliquent alors ϕ
rat = 0.
Revenons à la situation de la formule (3). Le deuxième terme du membre de
droite est maintenant nul. Donc le premier est holomorphe puisque le membre de
gauche l’est. Il en résulte que la transformée de Fourier X → I
K ˜
M (˜ π, ν, X,
c ϕ
rat )
ne dépend pas du point ν choisi. Par différence entre la formule 6.6(1) et celle de
la proposition 5.10, on a
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
K ˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c ϕ
rat ) = 0.
On peut remplacer chaque ν ˜
S par 0 et, par un raisonnement déjà fait plusieurs
fois, on en déduit que I
K ˜
M (˜ π, X,
c ϕ
rat ) = 0 pour tout X. Pour la même raison