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Chapitre IX. Le cas archimédien
(Hyp). Soient f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) et γ ∈ D orb, ˜
G -reg (K ˜
M (R), ω) ⊗
Mes(M (R))
∗ ; alors on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) = I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ).
Cette hypothèse sera vérifiée au chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7).
Sous cette hypothèse, nous allons prouver les propositions 6.7, 6.10 et le
lemme 6.9. Soient
f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) et γ ∈ D orb, ˜
G -reg (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
Posons
c ϕ =
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(f ) −
c θ
K ˜
G
K ˜
M (f ),
c ϕ
rat =
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(f ) −
c θ
rat,K ˜
G
K ˜
M
(f ),
ϕ
rat = θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(f ) − θ
rat,K ˜
G
K ˜
M
(f ).
Faisons la différence entre la formule du lemme 7.1(i) et la formule 5.13(5),
étendue de façon évidente à notre K-espace. On obtient
c I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) −
c I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
I
K ˜
L,E
K ˜
M
(γ,
c θ
K ˜
G,E
K ˜
L
(f )) − I
K ˜
L
K ˜
M
(γ,
c θ
K ˜
G
K ˜
L (f )).
Pour K ˜
L = K ˜
G, les hypothèses de récurrence assurent que I
K ˜
L,E
K ˜
M
(γ,.)= I
K ˜
L
K ˜
M
(γ,.).
Si K ˜
L = K ˜
G, cette égalité est assurée par notre hypothèse (Hyp). Si K ˜
L = K ˜
M ,
nos hypothèses de récurrence assurent que
c θ
K ˜
G,E
K ˜
L
(f ) =
c θ
K ˜
G
K ˜
L
(f ). Il reste
(1)
c I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) −
c I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ) = I
K ˜
M (γ,
c ϕ).
Faisons la différence entre la formule du lemme 7.2(ii) et celle du lemme 5.12. De
la même façon, les hypothèses de récurrence conduisent à l’égalité
(2)
c ϕ =
c ϕ
rat + ϕ
rat .
La suite de la preuve est similaire à celle du paragraphe précédent. Le membre de
gauche de (1) possède la propriété de compacité 5.13(3). Il en résulte que
c ϕ, qui
est a priori un élément de I ac (K ˜
M (R), ω, K
M ) ⊗ Mes(M (R)), est en fait à support compact, c’est-à-dire appartient à I(K ˜
M (R), ω, K
M ) ⊗ Mes(M (R)). Fixons
une composante connexe ˜
M de K ˜
M . Soit ˜
π ∈ D ell,0 ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
De la compacité du support de
c ϕ résulte que la fonction λ → I
K ˜
M (˜ π λ ,
c ϕ) est
holomorphe sur A
∗
˜
M,C
. On calcule cette fonction grâce à (2) comme en 7.3. On a
(3) I
K ˜
M (˜ π λ ,
c ϕ) = I
K ˜
M (˜ π, λ,
c ϕ
rat ) + I
K ˜
M (ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π, λ) − ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π, λ), f K ˜
M,ω ).
Chapitre IX. Le cas archimédien
(Hyp). Soient f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) et γ ∈ D orb, ˜
G -reg (K ˜
M (R), ω) ⊗
Mes(M (R))
∗ ; alors on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) = I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ).
Cette hypothèse sera vérifiée au chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7).
Sous cette hypothèse, nous allons prouver les propositions 6.7, 6.10 et le
lemme 6.9. Soient
f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) et γ ∈ D orb, ˜
G -reg (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
Posons
c ϕ =
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(f ) −
c θ
K ˜
G
K ˜
M (f ),
c ϕ
rat =
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(f ) −
c θ
rat,K ˜
G
K ˜
M
(f ),
ϕ
rat = θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(f ) − θ
rat,K ˜
G
K ˜
M
(f ).
Faisons la différence entre la formule du lemme 7.1(i) et la formule 5.13(5),
étendue de façon évidente à notre K-espace. On obtient
c I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) −
c I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
I
K ˜
L,E
K ˜
M
(γ,
c θ
K ˜
G,E
K ˜
L
(f )) − I
K ˜
L
K ˜
M
(γ,
c θ
K ˜
G
K ˜
L (f )).
Pour K ˜
L = K ˜
G, les hypothèses de récurrence assurent que I
K ˜
L,E
K ˜
M
(γ,.)= I
K ˜
L
K ˜
M
(γ,.).
Si K ˜
L = K ˜
G, cette égalité est assurée par notre hypothèse (Hyp). Si K ˜
L = K ˜
M ,
nos hypothèses de récurrence assurent que
c θ
K ˜
G,E
K ˜
L
(f ) =
c θ
K ˜
G
K ˜
L
(f ). Il reste
(1)
c I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) −
c I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ) = I
K ˜
M (γ,
c ϕ).
Faisons la différence entre la formule du lemme 7.2(ii) et celle du lemme 5.12. De
la même façon, les hypothèses de récurrence conduisent à l’égalité
(2)
c ϕ =
c ϕ
rat + ϕ
rat .
La suite de la preuve est similaire à celle du paragraphe précédent. Le membre de
gauche de (1) possède la propriété de compacité 5.13(3). Il en résulte que
c ϕ, qui
est a priori un élément de I ac (K ˜
M (R), ω, K
M ) ⊗ Mes(M (R)), est en fait à support compact, c’est-à-dire appartient à I(K ˜
M (R), ω, K
M ) ⊗ Mes(M (R)). Fixons
une composante connexe ˜
M de K ˜
M . Soit ˜
π ∈ D ell,0 ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
De la compacité du support de
c ϕ résulte que la fonction λ → I
K ˜
M (˜ π λ ,
c ϕ) est
holomorphe sur A
∗
˜
M,C
. On calcule cette fonction grâce à (2) comme en 7.3. On a
(3) I
K ˜
M (˜ π λ ,
c ϕ) = I
K ˜
M (˜ π, λ,
c ϕ
rat ) + I
K ˜
M (ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π, λ) − ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π, λ), f K ˜
M,ω ).