IX.7. Les preuves des assertions de la section 6
1107
On a aussi
(5) pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
− H, il existe f ∈ I
inst ( ˜
G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)) tel que
e f ,1 (λ) = 1 et e f ,j (λ) = 0 pour j = 2, . . . , l.
En effet, on peut choisir φ ∈ I( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R)) tel que I
˜
M (˜ π 1,λ , φ) = 1
tandis que I
˜
M (˜ π j,λ , φ) = 0 pour j = 2, . . . , l. Le lemme 5.6 ter associe à φ une
fonction f vérifiant (5).
Les propriétés (4) et (5) et la proposition 5.15 entraînent que u 1 = 0. Cela
contredit l’hypothèse. Cela démontre que l = 0, autrement dit, σ
˜
G
˜
M
(˜ π) appartient
à U
˜
G
˜
M
⊗ D
st
ell,0 ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Il en résulte que I
˜
M (σ
˜
G
˜
M
(˜ π, λ), f ˜
M ) = 0
pour tout f comme au début de la preuve. En remontant le calcul, cela entraîne
S
˜
M (˜ π, X, Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = 0 pour tout X. Mais la fonction Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) est cuspidale :
il résulte de la formule de descente [VIII] 2.3 et de nos hypothèses de récurrence
que Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) ˜
R = 0 pour tout espace de Levi ˜
R ˜
M . Une fonction cuspidale
qui vérifie la nullité ci-dessus pour tout ˜
π elliptique est nulle. Cela prouve que
Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) = 0.
Revenons à la situation de la formule (3). On vient de montrer que le
deuxième terme du membre de droite était nul. Donc la fonction
λ → S
˜
M (˜ π, λ,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
est holomorphe. La transformée de Fourier X → S
˜
M (˜ π, ν, X,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) ne dépend pas du point ν ∈ A
∗
˜
M
. Dans la proposition 6.2, on peut remplacer tous
les points ν ˜
S par 0. Puisque
˜
S∈P( ˜
M ) ω ˜
S (X) = 1 pour tout X, on obtient que
S
˜
M (˜ π, X,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = 0 pour tout X. Pour la même raison que ci-dessus, la
fonction
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) est cuspidale et la nullité ci-dessus pour tout ˜
π elliptique entraîne
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) = 0. L’égalité (2) entraîne alors
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) = 0. Cela démontre la
proposition 6.1. La proposition 6.5 en résulte grâce à l’égalité (1).
On vient de prouver le lemme 6.4 restreint aux représentations elliptiques.
Pour ˜
π ∈ D
st
temp,0 ( ˜
M (R))⊗Mes(M (R))
∗ , la formule du lemme 6.3 et la proposition
6.1 maintenant démontrée entraînent que I
˜
M (σ
˜
G
˜
M
(˜ π, λ), f ˜
M ) = 0 pour tout f ∈
I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) d’image nulle dans SI( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)). L’usage du
lemme 5.7 ter et de la proposition 5.15 permet d’en déduire comme ci-dessus que
σ
˜
G
˜
M
(˜ π) appartient à U
˜
G
˜
M
⊗ D
st
ell,0 ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
IX.7.4 Preuve conditionnelle des propositions 6.7 et 6.10
et du lemme 6.9
On considère un triplet (KG, K ˜
G, a) et un K-espace de Levi K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ). Les
propriétés à prouver sont tautologiques si K ˜
M = K ˜
G. On suppose K ˜
M = K ˜
G.
On impose la condition suivante :
1107
On a aussi
(5) pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
− H, il existe f ∈ I
inst ( ˜
G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)) tel que
e f ,1 (λ) = 1 et e f ,j (λ) = 0 pour j = 2, . . . , l.
En effet, on peut choisir φ ∈ I( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R)) tel que I
˜
M (˜ π 1,λ , φ) = 1
tandis que I
˜
M (˜ π j,λ , φ) = 0 pour j = 2, . . . , l. Le lemme 5.6 ter associe à φ une
fonction f vérifiant (5).
Les propriétés (4) et (5) et la proposition 5.15 entraînent que u 1 = 0. Cela
contredit l’hypothèse. Cela démontre que l = 0, autrement dit, σ
˜
G
˜
M
(˜ π) appartient
à U
˜
G
˜
M
⊗ D
st
ell,0 ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Il en résulte que I
˜
M (σ
˜
G
˜
M
(˜ π, λ), f ˜
M ) = 0
pour tout f comme au début de la preuve. En remontant le calcul, cela entraîne
S
˜
M (˜ π, X, Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = 0 pour tout X. Mais la fonction Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) est cuspidale :
il résulte de la formule de descente [VIII] 2.3 et de nos hypothèses de récurrence
que Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) ˜
R = 0 pour tout espace de Levi ˜
R ˜
M . Une fonction cuspidale
qui vérifie la nullité ci-dessus pour tout ˜
π elliptique est nulle. Cela prouve que
Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) = 0.
Revenons à la situation de la formule (3). On vient de montrer que le
deuxième terme du membre de droite était nul. Donc la fonction
λ → S
˜
M (˜ π, λ,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
est holomorphe. La transformée de Fourier X → S
˜
M (˜ π, ν, X,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) ne dépend pas du point ν ∈ A
∗
˜
M
. Dans la proposition 6.2, on peut remplacer tous
les points ν ˜
S par 0. Puisque
˜
S∈P( ˜
M ) ω ˜
S (X) = 1 pour tout X, on obtient que
S
˜
M (˜ π, X,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = 0 pour tout X. Pour la même raison que ci-dessus, la
fonction
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) est cuspidale et la nullité ci-dessus pour tout ˜
π elliptique entraîne
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) = 0. L’égalité (2) entraîne alors
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) = 0. Cela démontre la
proposition 6.1. La proposition 6.5 en résulte grâce à l’égalité (1).
On vient de prouver le lemme 6.4 restreint aux représentations elliptiques.
Pour ˜
π ∈ D
st
temp,0 ( ˜
M (R))⊗Mes(M (R))
∗ , la formule du lemme 6.3 et la proposition
6.1 maintenant démontrée entraînent que I
˜
M (σ
˜
G
˜
M
(˜ π, λ), f ˜
M ) = 0 pour tout f ∈
I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) d’image nulle dans SI( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)). L’usage du
lemme 5.7 ter et de la proposition 5.15 permet d’en déduire comme ci-dessus que
σ
˜
G
˜
M
(˜ π) appartient à U
˜
G
˜
M
⊗ D
st
ell,0 ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
IX.7.4 Preuve conditionnelle des propositions 6.7 et 6.10
et du lemme 6.9
On considère un triplet (KG, K ˜
G, a) et un K-espace de Levi K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ). Les
propriétés à prouver sont tautologiques si K ˜
M = K ˜
G. On suppose K ˜
M = K ˜
G.
On impose la condition suivante :