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Chapitre IX. Le cas archimédien
La seconde est la transformée de Fourier de λ → I
˜
M (σ
˜
G
˜
M
(˜ π, λ), f ˜
M ) d’après le
lemme 6.2. Il en résulte que
(3)
S
˜
M (˜ π λ ,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) = S
˜
M (˜ π, λ,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) + I
˜
M (σ
˜
G
˜
M
(˜ π, λ), f ˜
M ).
La fonction de gauche est holomorphe. La première fonction de droite n’a qu’un
nombre fini d’hyperplans polaires. Donc λ → I
˜
M (σ
˜
G
˜
M
(˜ π, λ), f ) n’a qu’un nombre
fini d’hyperplans polaires. On peut préciser que, si on fixe un ensemble fini Ω de
K-types, ces hyperplans restent dans un ensemble fini indépendant de f pourvu
que f ∈ I( ˜
G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)). On sait décomposer D ell,0 ( ˜
M (R)) en somme de
sa partie stable D
st
ell,0 ( ˜
M (R)) et de sa partie instable D
inst
ell,0 ( ˜
M (R)), cf. [IV] 2.2.
On peut décomposer σ
˜
G
˜
M
(˜ π) sous la forme
σ
˜
G
˜
M
(˜ π) =
j=1,...,k
u j ⊗ ˜
π j
de sorte que les propriétés suivantes soient vérifiées :
– u j ∈ U
˜
G
˜
M
et u j = 0 pour tout j ;
– ˜
π j ∈ D ell,0 ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ et la famille (˜ π j ) j=1,...,k est linéairement
indépendante ;
– il existe un entier l ∈ {0, . . . , k} de sorte que ˜
π j ∈ D
inst
ell,0 ( ˜
M (R))⊗Mes(M (R))
∗
si j ≤ l, tandis que ˜
π j ∈ D
st
ell,0 ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ si j > l.
L’hypothèse sur f implique que l’image de f ˜
M dans SI( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
est nulle. Donc I
˜
M (˜ π j,λ , f ˜
M ) = 0 pour tout j > l et tout λ. Supposons l > 0.
Appliquons le lemme 5.6 ter pour les ˜
π 1 ,. . .,˜ π l . On obtient un ensemble fini Ω
de K-types et une réunion finie de sous-espaces affines H vérifiant la conclusion
de ce lemme. Comme on l’a dit, pour cet ensemble Ω, les hyperplans polaires
de la fonction λ → I
˜
M (σ
˜
G
˜
M
(˜ π, λ), f ) restent dans un ensemble fini pourvu que
f ∈ I( ˜
G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)). Quitte à accroître H, on peut supposer que H
contient tous ces hyperplans. Notons F l’espace des fonctions holomorphes sur
A
∗
˜
M,C
. Notons I
inst ( ˜
G(R), Ω) le sous-espace des éléments f ∈ I( ˜
G(R), Ω) d’image
nulle dans SI( ˜
G(R)). A tout élément f ∈ I
inst ( ˜
G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)), associons
la famille e f = (e f ,j ) j=1,...,l ∈ F
l définie par e f ,j (λ) = I
˜
M (˜ π j,λ , f ˜
M ). Puisque
I
˜
M (σ
˜
G
˜
M
(˜ π, λ), f ) =
j=1,...,l
u j (λ)I
˜
M (˜ π j,λ , f ˜
M ),
on obtient
(4) pour tout f ∈ I
inst ( ˜
G(R), Ω) ⊗ Mes(G(R)), la fonction
λ →
j=1,...,l
u j (λ)e f ,j (λ)
n’a pas de pôle hors de H.