IX.7. Les preuves des assertions de la section 6
1105
c θ
rat, ˜
G
˜
L
(L
(s), f ) = (
c θ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))
L
(s) . Le calcul des termes indexés par un ˜
L = ˜
M se
poursuit comme ci-dessus et donne le terme voulu du membre de droite de l’égalité
du (iii). Il reste le terme indexé par ˜
M . C’est simplement Sθ
rat,M
M
(
c θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f )).
Mais Sθ
rat,M
M
est simplement l’identité de l’espace SI ac (M
) ⊗ Mes(M
(R)). Le
terme précédent est donc
c θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f ), qui est le premier terme du membre de
droite de l’égalité du (iii). Cela prouve (iii).
Le (ii) se prouve comme toujours en appliquant au cas M
= M la preuve
que l’on a donnée du (iii) dans le cas M
= M. On renvoie le lecteur à la preuve
similaire de [VIII] proposition 4.1(ii).
IX.7.3 Preuves des propositions 6.1, 6.5 et du lemme 6.4
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Comme toujours, les
propriétés à démontrer sont tautologiques si ˜
M = ˜
G. On suppose ˜
M = ˜
G.
Soit f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) dont l’image dans
SI( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R))
est nulle. Soit δ ∈ D
st
orb, ˜
G -reg
( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), ˜
L = ˜
M , nos
hypothèses de récurrence assurent que
c Sθ
˜
G
˜
L
(f ) = 0. Le lemme 7.1(ii) se simplifie
en
(1)
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(δ, f ) = S
˜
M (δ,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )).
On a aussi
c Sθ
rat, ˜
G
˜
L
(f ) = 0 pour ˜
L = ˜
G et le lemme 7.2(ii) se simplifie en
(2)
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) =
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) + Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ).
Le membre de gauche de (1) possède la propriété de compacité 5.13(3). Il en résulte
que
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ), qui est a priori un élément de SI ac ( ˜
M (R), K
M )⊗ Mes(M (R)), est en
fait «à support compact», c’est-à-dire appartient à SI( ˜
M (R), K
M ) ⊗ Mes(M (R)).
Soit ˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Puisque
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) est à support compact,
la fonction λ → S
˜
M (˜ π λ ,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) est holomorphe pour λ ∈ A
∗
˜
M,C
. Sa transformée
de Fourier sur iA
∗
˜
M
est la fonction X → S
˜
M (˜ π, X,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) sur A ˜
M . D’après (2),
c’est la fonction
X → S
˜
M (˜ π, X,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) + S
˜
M (˜ π, X, Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )).
Or la première fonction est la transformée de Fourier de la fonction
λ → S
˜
M (˜ π, λ,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )).
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c θ
rat, ˜
G
˜
L
(L
(s), f ) = (
c θ
rat, ˜
G
˜
L
(f ))
L
(s) . Le calcul des termes indexés par un ˜
L = ˜
M se
poursuit comme ci-dessus et donne le terme voulu du membre de droite de l’égalité
du (iii). Il reste le terme indexé par ˜
M . C’est simplement Sθ
rat,M
M
(
c θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f )).
Mais Sθ
rat,M
M
est simplement l’identité de l’espace SI ac (M
) ⊗ Mes(M
(R)). Le
terme précédent est donc
c θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f ), qui est le premier terme du membre de
droite de l’égalité du (iii). Cela prouve (iii).
Le (ii) se prouve comme toujours en appliquant au cas M
= M la preuve
que l’on a donnée du (iii) dans le cas M
= M. On renvoie le lecteur à la preuve
similaire de [VIII] proposition 4.1(ii).
IX.7.3 Preuves des propositions 6.1, 6.5 et du lemme 6.4
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Comme toujours, les
propriétés à démontrer sont tautologiques si ˜
M = ˜
G. On suppose ˜
M = ˜
G.
Soit f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) dont l’image dans
SI( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R))
est nulle. Soit δ ∈ D
st
orb, ˜
G -reg
( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), ˜
L = ˜
M , nos
hypothèses de récurrence assurent que
c Sθ
˜
G
˜
L
(f ) = 0. Le lemme 7.1(ii) se simplifie
en
(1)
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(δ, f ) = S
˜
M (δ,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )).
On a aussi
c Sθ
rat, ˜
G
˜
L
(f ) = 0 pour ˜
L = ˜
G et le lemme 7.2(ii) se simplifie en
(2)
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) =
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) + Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ).
Le membre de gauche de (1) possède la propriété de compacité 5.13(3). Il en résulte
que
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ), qui est a priori un élément de SI ac ( ˜
M (R), K
M )⊗ Mes(M (R)), est en
fait «à support compact», c’est-à-dire appartient à SI( ˜
M (R), K
M ) ⊗ Mes(M (R)).
Soit ˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Puisque
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) est à support compact,
la fonction λ → S
˜
M (˜ π λ ,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) est holomorphe pour λ ∈ A
∗
˜
M,C
. Sa transformée
de Fourier sur iA
∗
˜
M
est la fonction X → S
˜
M (˜ π, X,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) sur A ˜
M . D’après (2),
c’est la fonction
X → S
˜
M (˜ π, X,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) + S
˜
M (˜ π, X, Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )).
Or la première fonction est la transformée de Fourier de la fonction
λ → S
˜
M (˜ π, λ,
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )).