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Chapitre IX. Le cas archimédien
Nos hypothèses de récurrence et quelques formalités nous autorisent à appliquer
aux termes du membre de droite le (ii) du présent énoncé, simplifié par la remarque
qui suit cet énoncé. Le terme indexé par ˜
s se développe en une somme indexée par
˜
L
˜
s ∈ L
˜
G
(˜ s) ( ˜
M
). Comme toujours, un tel ˜
L
˜
s détermine un K-espace de Levi K ˜
L.
Il s’identifie alors à l’espace de la donnée endoscopique L
(˜ s) de (KL, K ˜
L, a). On
regroupe les couples (˜ s, ˜
L ˜
s ) selon le K-espace de Levi K ˜
L. On obtient
(2)
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
M )
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L) Γ R , ˆ
θ ,L (˜ s) elliptique
˜
t∈˜ sZ( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))Sθ
rat,L
(˜ s)
M
◦
c Sθ
rat,G
( ˜
t)
L (˜ s)
(f
G
( ˜
t) ).
On a comme toujours l’égalité
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t)) = i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))i ˜
L (˜ s) ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t)).
Sous cette forme, la restriction que L
(˜ s) doit être elliptique devient superflue.
Pour tout ˜
s, on a par définition
˜
t∈˜ sZ( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
L (˜ s) ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))
c Sθ
rat,G
( ˜
t)
L (˜ s)
(f
G
( ˜
t) ) =
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
L
(L
(˜ s), f )
=
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
L
(f )
L
(˜ s) .
Le terme indexé par K ˜
L de l’expression (1) devient
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M)
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))Sθ
rat,L
(˜ s)
M
(
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
L
(f )
L
(˜ s) ).
Par définition, c’est θ
rat,K ˜
L,E
K ˜
M
(M
,
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
L
(f )). Mais alors le membre de droite
de (2) devient égal à celui de (1). Cela démontre cette égalité (1) et l’assertion (i)
de l’énoncé.
Traitons (iii). Supposons d’abord M
= M. Comme on l’a dit, en notant θ
˜
G
˜
M
l’une de nos application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
etc. . ., l’application Sθ
˜
G
˜
M
est définie de sorte que
l’on ait l’égalité
θ
˜
G,E
˜
M
(M, f ) = p
st
˜
M
◦ θ
˜
G
˜
M
(f ).
Alors l’égalité du (iii) n’est autre que l’égalité du lemme 5.12 à laquelle on applique
la projection p
st
˜
M
. Supposons maintenant M
= M. On reprend la preuve du (i) en
supprimant les K et en remplaçant ˜
s par s. Le calcul marche jusqu’au point où on
a utilisé l’égalité
c θ
rat, ˜
G,E
˜
L
(L
(s), f ) = (
c θ
rat, ˜
G,E
˜
L
(f ))
L
(s) . Ici, on ne dispose plus de
l’application
c θ
rat, ˜
G,E
˜
L
. Mais, si ˜
L = ˜
M , on peut utiliser l’assertion 6.11(A) : on a
Chapitre IX. Le cas archimédien
Nos hypothèses de récurrence et quelques formalités nous autorisent à appliquer
aux termes du membre de droite le (ii) du présent énoncé, simplifié par la remarque
qui suit cet énoncé. Le terme indexé par ˜
s se développe en une somme indexée par
˜
L
˜
s ∈ L
˜
G
(˜ s) ( ˜
M
). Comme toujours, un tel ˜
L
˜
s détermine un K-espace de Levi K ˜
L.
Il s’identifie alors à l’espace de la donnée endoscopique L
(˜ s) de (KL, K ˜
L, a). On
regroupe les couples (˜ s, ˜
L ˜
s ) selon le K-espace de Levi K ˜
L. On obtient
(2)
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
M )
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L) Γ R , ˆ
θ ,L (˜ s) elliptique
˜
t∈˜ sZ( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))Sθ
rat,L
(˜ s)
M
◦
c Sθ
rat,G
( ˜
t)
L (˜ s)
(f
G
( ˜
t) ).
On a comme toujours l’égalité
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t)) = i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))i ˜
L (˜ s) ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t)).
Sous cette forme, la restriction que L
(˜ s) doit être elliptique devient superflue.
Pour tout ˜
s, on a par définition
˜
t∈˜ sZ( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
L (˜ s) ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))
c Sθ
rat,G
( ˜
t)
L (˜ s)
(f
G
( ˜
t) ) =
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
L
(L
(˜ s), f )
=
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
L
(f )
L
(˜ s) .
Le terme indexé par K ˜
L de l’expression (1) devient
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M)
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))Sθ
rat,L
(˜ s)
M
(
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
L
(f )
L
(˜ s) ).
Par définition, c’est θ
rat,K ˜
L,E
K ˜
M
(M
,
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
L
(f )). Mais alors le membre de droite
de (2) devient égal à celui de (1). Cela démontre cette égalité (1) et l’assertion (i)
de l’énoncé.
Traitons (iii). Supposons d’abord M
= M. Comme on l’a dit, en notant θ
˜
G
˜
M
l’une de nos application
c θ
rat, ˜
G
˜
M
etc. . ., l’application Sθ
˜
G
˜
M
est définie de sorte que
l’on ait l’égalité
θ
˜
G,E
˜
M
(M, f ) = p
st
˜
M
◦ θ
˜
G
˜
M
(f ).
Alors l’égalité du (iii) n’est autre que l’égalité du lemme 5.12 à laquelle on applique
la projection p
st
˜
M
. Supposons maintenant M
= M. On reprend la preuve du (i) en
supprimant les K et en remplaçant ˜
s par s. Le calcul marche jusqu’au point où on
a utilisé l’égalité
c θ
rat, ˜
G,E
˜
L
(L
(s), f ) = (
c θ
rat, ˜
G,E
˜
L
(f ))
L
(s) . Ici, on ne dispose plus de
l’application
c θ
rat, ˜
G,E
˜
L
. Mais, si ˜
L = ˜
M , on peut utiliser l’assertion 6.11(A) : on a