IX.7. Les preuves des assertions de la section 6
1103
Pour ˜
L = ˜
M , la somme en s est réduite à l’élément s = ζ et le terme dans la somme
est le premier terme du membre de droite de l’égalité de l’énoncé. Pour ˜
L = ˜
M , on
peut utiliser par récurrence l’assertion 6.11(A) :
c θ
˜
G,E
˜
L
(L
(s), f ) = (
c θ
˜
G
˜
L
(f ))
L
(s) . Le
terme indexé par ˜
L dans l’expression ci-dessus devient alors I
˜
L,E
˜
M
(M
, δ,
c θ
˜
G
˜
L
(f )).
C’est le terme indexé par ˜
L dans le membre de droite de l’égalité de l’énoncé.
L’égalité (1) devient donc celle de l’énoncé.
Le (ii) se prouve comme dans le cas non-archimédien en appliquant au cas
M
= M la preuve que l’on a donnée du (iii) dans le cas M
= M. On renvoie le
lecteur à la preuve de [VIII] proposition 4.1(ii).
IX.7.2 Relation entre les applications θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
,
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
,
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
On se réfère aux cas (A), (B), (C) du paragraphe précédent.
Lemme.
(i) Dans le cas (A), soit f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). On a l’égalité
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
θ
rat,K ˜
L,E
K ˜
M
◦
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
L
(f ).
(ii) Dans le cas (B), soit f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). On a l’égalité
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) = Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) +
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
Sθ
rat, ˜
L
˜
M
◦
c Sθ
rat, ˜
G
˜
L
(f ).
(iii) Dans le cas (C), soit f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). On a l’égalité
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ) =
c θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f ) +
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
θ
rat, ˜
L,E
˜
M
(M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
L
(f )).
Remarque. Quand on aura prouvé la stabilité de l’application Sθ
rat, ˜
G
˜
M
, le premier
terme du membre de droite de (ii) rentrera dans la somme qui le suit, où la
restriction ˜
L = ˜
G disparaîtra.
Preuve. Considérons (i). Il suffit de prouver que, pour tout M
∈ E(K ˜
M , a),
les transferts à M
des deux membres de l’égalité sont égaux. En appliquant les
définitions, cela revient à prouver l’égalité
(1)
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
θ
rat,K ˜
L,E
K ˜
M
(M
,
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
L
(f )).
Notons M
= (M
, M
, ˜
ζ). Utilisons la définition du membre de gauche
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
c Sθ
G
(˜ s)
M (f
G
(˜ s) ).
1103
Pour ˜
L = ˜
M , la somme en s est réduite à l’élément s = ζ et le terme dans la somme
est le premier terme du membre de droite de l’égalité de l’énoncé. Pour ˜
L = ˜
M , on
peut utiliser par récurrence l’assertion 6.11(A) :
c θ
˜
G,E
˜
L
(L
(s), f ) = (
c θ
˜
G
˜
L
(f ))
L
(s) . Le
terme indexé par ˜
L dans l’expression ci-dessus devient alors I
˜
L,E
˜
M
(M
, δ,
c θ
˜
G
˜
L
(f )).
C’est le terme indexé par ˜
L dans le membre de droite de l’égalité de l’énoncé.
L’égalité (1) devient donc celle de l’énoncé.
Le (ii) se prouve comme dans le cas non-archimédien en appliquant au cas
M
= M la preuve que l’on a donnée du (iii) dans le cas M
= M. On renvoie le
lecteur à la preuve de [VIII] proposition 4.1(ii).
IX.7.2 Relation entre les applications θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
,
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
,
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
On se réfère aux cas (A), (B), (C) du paragraphe précédent.
Lemme.
(i) Dans le cas (A), soit f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). On a l’égalité
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
θ
rat,K ˜
L,E
K ˜
M
◦
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
L
(f ).
(ii) Dans le cas (B), soit f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). On a l’égalité
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) = Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) +
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
Sθ
rat, ˜
L
˜
M
◦
c Sθ
rat, ˜
G
˜
L
(f ).
(iii) Dans le cas (C), soit f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)). On a l’égalité
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ) =
c θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f ) +
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
θ
rat, ˜
L,E
˜
M
(M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
L
(f )).
Remarque. Quand on aura prouvé la stabilité de l’application Sθ
rat, ˜
G
˜
M
, le premier
terme du membre de droite de (ii) rentrera dans la somme qui le suit, où la
restriction ˜
L = ˜
G disparaîtra.
Preuve. Considérons (i). Il suffit de prouver que, pour tout M
∈ E(K ˜
M , a),
les transferts à M
des deux membres de l’égalité sont égaux. En appliquant les
définitions, cela revient à prouver l’égalité
(1)
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
θ
rat,K ˜
L,E
K ˜
M
(M
,
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
L
(f )).
Notons M
= (M
, M
, ˜
ζ). Utilisons la définition du membre de gauche
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
c Sθ
G
(˜ s)
M (f
G
(˜ s) ).