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Chapitre IX. Le cas archimédien
(ii) Dans le cas (B), soient
δ ∈ D
st
orb, ˜
G -reg
( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ et f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)).
On a l’égalité
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
횿
˜
L∈L( ˜
M)
S
˜
L
˜
M
(δ,
c Sθ
˜
G
˜
L (f )).
(iii) Dans le cas (C), soient
δ ∈ D
st
orb, ˜
G -reg
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ et f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)).
On a l’égalité
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) = S
M
(δ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )) +
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
I
˜
L,E
˜
M
(M
, δ,
c θ
˜
G
˜
L (f )).
Preuve. La preuve du (i) est similaire à celle du cas non-archimédien ([VIII] proposition 4.1). Traitons (iii). Supposons d’abord que M
est la donnée triviale M.
La distribution f →
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ) est définie de sorte que l’on ait l’égalité
c I
˜
G,E
˜
M
(M, δ, f ) =
c I
˜
G
˜
M (δ, f ).
De même, pour ˜
L ∈ L( ˜
M ) avec ˜
L = ˜
M , la distribution ϕ → S
˜
L
˜
M
(δ, ϕ) est définie
de sorte que l’on ait l’égalité
I
˜
L,E
˜
M
(M, δ, ϕ) = I
˜
L
˜
M
(δ, ϕ).
L’application
c Sθ
˜
G
˜
M
est définie de sorte que l’on ait l’égalité
c θ
˜
G,E
˜
M
(M, f ) = p
st
˜
M
◦
c θ
˜
G
˜
M (f ).
Puisque δ est stable, on a S
˜
M (δ, p
st
˜
M
(ϕ)) = I
˜
M (δ, ϕ) pour tout
ϕ ∈ I( ˜
M (R), K
M ) ⊗ Mes(M (R)).
L’égalité à prouver se transforme en
c I
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M )
I
˜
L
˜
M
(δ,
c θ
˜
G
˜
L (f )),
ce qui est la relation 5.13(5). Cela conclut le cas M
= M. Supposons maintenant
M
= M. Le même calcul qu’en [VIII] 4.1 conduit à l’égalité
(1)
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f )
=
˜
L∈L( ˜
M )
s∈ζZ( ˆ
M Γ R /Z( ˆ
G) Γ R
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))S
L
(s)
M (δ,
c θ
˜
G,E
˜
L
(L
(s), f )).