IX.7. Les preuves des assertions de la section 6
1101
Pour f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)), l’égalité 6.8(3) (qui est déjà prouvée) peut se
récrire
(1)
S
M
(˜ π M , X, θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f ))
=
iA ∗
˜
M
I
˜
M (ρ
˜
G,E
˜
M
(M
, ˜
π M , λ), f ˜
M ,ω )e
−−λ,X dλ.
Le lemme 6.9 peut se récrire
(C) pour tout ˜
π M ∈ D
st
temp,0 (M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ , on a l’égalité
ρ
˜
G
˜
M
(transfert(˜ π M )) = ρ
˜
G,E
˜
M
(M
, ˜
π M ).
Les assertions (A), (B) et (C) seront prouvées en 7.5.
On aura besoin d’un substitut de la propriété 6.6(1) (qui est déjà prouvée).
Soit ˜
π M ∈ D ell (M
)⊗Mes(M
(R))
∗ et f ∈ I( ˜
G(R), K)⊗Mes(G(R)). On n’a aucun
mal à définir les termes S
M
(˜ π M , ν, X,
c θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f )) pour ν ∈ A
∗
˜
M
et X ∈ A ˜
M .
Alors
(2) supposons ˜
M = ˜
G ; si chaque point ν ˜
S est assez positif relativement à ˜
S, on
a l’égalité
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)S
M
(˜ π M , ν ˜
S , X,
c θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
, f )) = 0
pour tout X ∈ A ˜
M .
IX.7 Les preuves des assertions de la section 6
IX.7.1 Lien entre les intégrales orbitales pondérées endoscopiques
et leurs variantes
Dans ce paragraphe et le suivant, on considère l’une des trois situations
(A) on se donne un triplet (KG, K ˜
G, a) et un K-espace de Levi K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ) ;
(B) on se donne un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure et un
espace de Levi ˜
M ;
(C) on se donne un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure, un
espace de Levi ˜
M et une donnée endoscopique M
= (M
, M
, ζ) de (M, ˜
M )
qui est elliptique et relevante.
Lemme.
(i) Dans le cas (A), soient γ ∈ D orb, ˜
G -reg (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et f ∈
I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). On a l’égalité
c I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
M)
I
K ˜
L,E
K ˜
M
(γ,
c θ
K ˜
G,E
K ˜
L
(f )).