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Chapitre IX. Le cas archimédien
où les δ M appartiennent à D
st
orb, ˜
G -reg
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ . On pose
c I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) =
M ∈E(K ˜
M,a)
c I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ M , f ).
Cela ne dépend pas de la décomposition de γ choisie (la preuve est analogue à
celle de [II] 1.15).
Proposition (à prouver). Pour tout γ ∈ D orb, ˜
G -reg (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et
tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)), on a l’égalité
c I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) =
c I
K ˜
G
K ˜
M (γ, f ).
On donnera en 7.4 une preuve soumise à une hypothèse qui sera vérifiée au
chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7).
IX.6.11 Reformulation des énoncés dans le cas quasi-déployé
et à torsion intérieure
Soit (G, ˜
G, a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure. On n’a pas envie de
le plonger dans un K-espace car cela perturberait nos hypothèses de récurrence.
Mais on peut reformuler les assertions des paragraphes 6.6 à 6.10 en se passant
d’un tel plongement.
Ainsi, soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G et soit M
= (M
, M
, ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M ). Notons θ
˜
G
˜
M
l’une de nos applications
θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
. La proposition 6.7 se reformule par :
(A) pour tout f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)), on a l’égalité
θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ) = (θ
˜
G
˜
M
(f ))
M
.
Soit δ ∈ D
st
orb, ˜
G -reg
(M
)⊗ Mes(M
(R))
∗ . La proposition 6.10 se reformule par
(B) pour tout f ∈ I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)), on a l’égalité
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
c I
˜
G
˜
M (transfert(δ), f ).
Soit ˜
π M ∈ D
st
temp,0 (M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ . On peut poser comme en 6.8(2) :
ρ
˜
G,E
˜
M
(M
, ˜
π M ) =
s∈ζZ( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) transfert(σ
G
(s)
M (˜ π M )).