IX.6. Endoscopie et applications θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
1099
IX.6.9 Egalité des fonctions ρ
K ˜
G
K ˜
M
et ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
On conserve la même situation. On définit
ρ
K ˜
G
K ˜
M
: D temp,0 (K ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ U
˜
G
˜
M
⊗ D temp,0 (K ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
comme la somme directe des applications ρ
˜
Gp
˜
Mp
pour p ∈ Π
M .
Lemme (à prouver). On a l’égalité ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
= ρ
K ˜
G
K ˜
M
.
On donnera en 7.4 une preuve soumise à une hypothèse qui ne sera vérifiée
qu’au chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7).
IX.6.10 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques
Soit (G, ˜
G, a) un triplet général et ˜
M un espace de Levi de ˜
G.
Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de
(M, ˜
M , a). Pour δ ∈ D
st
orb, ˜
G -reg
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ et f ∈ I( ˜
G(R), ω, K) ⊗
Mes(G(R)), on pose
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
c S
G
(˜ s)
M (δ, f
G
(˜ s) ).
Ici encore, dans le cas particulier où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et où M
= M, on doit remplacer le terme indexé par s = 1 par
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ).
Considérons maintenant un K-espace (KG, K ˜
G, a) et un K-espace de Levi
K ˜
M . Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de
(KM, K ˜
M, a). Pour δ ∈ D
st
orb, ˜
G -reg
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ et f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗
Mes(G(R)), on définit
c I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) par la même formule que ci-dessus.
Soit maintenant γ ∈ D orb, ˜
G -reg (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ . On peut décomposer γ en
p∈Π M γ p , où γ p ∈ D orb, ˜
G -reg ( ˜
M p (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Pour
f = (f p ) p∈Π ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)), on pose
c I
K ˜
G
K ˜
M (γ, f ) =
p∈Π M
c I
˜
Gp
˜
Mp
(γ p , f p ).
On introduit un ensemble E(K ˜
M, a) de représentants des classes d’équivalence de données endoscopiques de (KM, K ˜
M, a) qui sont elliptiques et relevantes.
On écrit
γ =
M ∈E(K ˜
M,a)
transfert(δ M ),
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
1099
IX.6.9 Egalité des fonctions ρ
K ˜
G
K ˜
M
et ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
On conserve la même situation. On définit
ρ
K ˜
G
K ˜
M
: D temp,0 (K ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ U
˜
G
˜
M
⊗ D temp,0 (K ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
comme la somme directe des applications ρ
˜
Gp
˜
Mp
pour p ∈ Π
M .
Lemme (à prouver). On a l’égalité ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
= ρ
K ˜
G
K ˜
M
.
On donnera en 7.4 une preuve soumise à une hypothèse qui ne sera vérifiée
qu’au chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7).
IX.6.10 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques
Soit (G, ˜
G, a) un triplet général et ˜
M un espace de Levi de ˜
G.
Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de
(M, ˜
M , a). Pour δ ∈ D
st
orb, ˜
G -reg
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ et f ∈ I( ˜
G(R), ω, K) ⊗
Mes(G(R)), on pose
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
c S
G
(˜ s)
M (δ, f
G
(˜ s) ).
Ici encore, dans le cas particulier où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et où M
= M, on doit remplacer le terme indexé par s = 1 par
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ).
Considérons maintenant un K-espace (KG, K ˜
G, a) et un K-espace de Levi
K ˜
M . Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de
(KM, K ˜
M, a). Pour δ ∈ D
st
orb, ˜
G -reg
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ et f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗
Mes(G(R)), on définit
c I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) par la même formule que ci-dessus.
Soit maintenant γ ∈ D orb, ˜
G -reg (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ . On peut décomposer γ en
p∈Π M γ p , où γ p ∈ D orb, ˜
G -reg ( ˜
M p (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Pour
f = (f p ) p∈Π ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)), on pose
c I
K ˜
G
K ˜
M (γ, f ) =
p∈Π M
c I
˜
Gp
˜
Mp
(γ p , f p ).
On introduit un ensemble E(K ˜
M, a) de représentants des classes d’équivalence de données endoscopiques de (KM, K ˜
M, a) qui sont elliptiques et relevantes.
On écrit
γ =
M ∈E(K ˜
M,a)
transfert(δ M ),