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Chapitre IX. Le cas archimédien
On peut identifier A
∗
˜
M à A
∗
˜
M
. L’application σ
G
(˜ s)
M
prend ses valeurs dans U
˜
G
(˜ s)
˜
M
⊗
D
st
temp,0 (M
). Ecrivons σ
G
(˜ s)
M (˜ π M ) =
j=1,...,k u j ⊗ ˜
τ j . Alors
transfert(σ
G
(˜ s)
M (˜ π M ; λ)) =
j=1,...,k
u j (λ) transfert(˜ τ j,λ ).
Cela s’interprète comme la valeur en λ de l’élément
j=1,...,k u j ⊗ transfert(˜ τ j ).
Pour interpréter ce dernier terme comme un élément de notre espace
U
˜
G
˜
M
⊗ D temp,0 (K ˜
M (R), ω),
il faut remarquer que
(1) U
˜
G
(˜ s)
˜
M
est inclus dans U
˜
G
˜
M
.
Introduisons des paires de Borel (B, T ) de K ˜
G et (B
, T
) de G
(˜ s) de sorte
que M soit standard pour (B, T ) et M
soit standard pour (B
, T
). L’ensemble
ˇ
Σ (A ˜
M ) de 5.4 est celui des restrictions non nulles à A
∗
˜
M
d’éléments de ˇ
Σ(T ). L’ensemble similaire ˇ
Σ (A ˜
M ) est celui des restrictions non nulles à A
∗
˜
M d’éléments
de ˇ
Σ(T
). On a un isomorphisme T
T /(1 − θ)(T ), d’où un homomorphisme
X ∗ (T ) → X ∗ (T
). Les descriptions usuelles des systèmes de racines montrent que
ˇ
Σ(T
) est contenu dans l’image de ˇ
Σ(T ) par cet homomorphisme. Modulo l’identification de A
∗
˜
M à A
∗
˜
M
, on en déduit aisément l’inclusion ˇ
Σ (A ˜
M ) ⊂ ˇ
Σ (A ˜
M ).
L’assertion (1) résulte alors de la définition donnée en 5.4 des espaces U
˜
G
(˜ s)
˜
M
et U
˜
G
˜
M
.
Définissons ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, ˜
π M ) par la formule
(2)
ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, ˜
π M )
=
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) transfert(σ
G
(˜ s)
M (˜ π M )).
On obtient l’égalité
(3)
S
M
(˜ π M , X, θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(f )
M
)
=
iA ∗
˜
M
I
K ˜
M (ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, ˜
π M , λ), f K ˜
M,ω )e
−−λ,X dλ.
Définissons ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π) par
ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(˜ π) =
M ∈E(K ˜
M,a)
ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, ˜
π M ).
On obtient alors la formule de l’énoncé. L’unicité se prouve comme au lemme 5.7.