IX.6. Endoscopie et applications θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
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vérifiant la condition suivante. Soient
f ∈ I(K ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)), ˜
π ∈ D temp,0 (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗
et X ∈ A ˜
M . Alors on a l’égalité
I
K ˜
M (˜ π, X, θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(f )) =
iA ∗
˜
M
I
K ˜
M (ρ
K ˜
G
K ˜
M
(˜ π; λ), f K ˜
M )e
−−λ,X dλ.
Preuve. On introduit un ensemble E(K ˜
M, a) de représentants des classes d’équivalence de données endoscopiques de (KM, K ˜
M, a) qui sont elliptiques et relevantes.
Pour tout M
∈ E(K ˜
M, a), on peut introduire un élément ˜
π M ∈ D
st
temp,0 (M
) ⊗
Mes(M
(R))
∗ de sorte que
˜
π =
M ∈E(K ˜
M,a)
transfert(˜ π M ).
On n’a aucun mal à prouver l’égalité
I
K ˜
M (˜ π, X, θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(f )) =
M ∈E(K ˜
M,a)
S
M
(˜ π M , X, θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(f )
M
).
A droite, on a identifié X à un élément de A ˜
M par l’isomorphisme entre cet espace
et A ˜
M . Fixons M
∈ E(K ˜
M , a), que l’on écrit M
= (M
, M
, ˜
ζ). Par définition
de θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(f ), le dernier terme ci-dessus est aussi
S
M
(˜ π M , X, θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, f )).
Ou encore
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
M
(˜ π M , X, Sθ
rat,G
(˜ s)
M
(f
G
(˜ s) )).
Fixons ˜
s et appliquons le lemme 6.2. Nos hypothèses de récurrence nous autorisent
à utiliser le lemme 6.3. On obtient
S
M
(˜ π M , X, Sθ
rat,G
(˜ s)
M
(f
G
(˜ s) ))
=
iA ∗
˜
M
S
M
(σ
G
(˜ s)
M (˜ π M ; λ), (f
G
(˜ s) ) M )e
−−λ,X dλ.
On a (f
G
(˜ s) ) M = (f K ˜
M,ω )
M
. Alors
S
M
(σ
G
(˜ s)
M (˜ π M ; λ), (f
G
(˜ s) ) M ) = I
K ˜
M (transfert(σ
G
(˜ s)
M (˜ π M ; λ)), f K ˜
M,ω ).