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Chapitre IX. Le cas archimédien
La remarque qui suit la proposition 5.10 vaut pour l’application
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
. C’està-dire que les pôles de la fonction λ → I
K ˜
M (˜ π, λ,
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(f )) restent dans un
nombre fini d’hyperplans indépendants de f , pourvu que f ∈ I(K ˜
G(R), ω, Ω) ⊗
Mes(G(R)).
Remarque. Ici encore, l’application θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
peut être définie sur des fonctions
qui ne sont pas K-finies.
IX.6.7 Egalité d’applications linéaires
Considérons un K-espace (KG, K ˜
G, a) et un K-espace de Levi K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ).
Notons K ˜
G = ( ˜
G p ) p∈Π , K ˜
M = ( ˜
M p ) p∈Π M . Considérons l’une de nos applications génériques θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
ou
c θ
˜
G
˜
M
, que l’on note simplement θ
˜
G
˜
M
. On définit
l’application linéaire
θ
K ˜
G
K ˜
M
: I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) → I ac (K ˜
M (R), ω, K
M ) ⊗ Mes(M (R))
comme la somme directe des applications θ
˜
Gp
˜
Mp
pour p ∈ Π
M et des applications
nulles pour p ∈ Π − Π
M .
Proposition (à prouver). On a l’égalité θ
K ˜
G,E
K ˜
M
= θ
K ˜
G
K ˜
M
.
On donnera en 7.4 une preuve soumise à une hypothèse qui ne sera vérifiée
qu’au chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7).
IX.6.8 Propriétés de l’application θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
Considérons un K-espace (KG, K ˜
G, a) et un K-espace de Levi K ˜
M . Ecrivons
K ˜
G = ( ˜
G p ) p∈Π , K ˜
M = ( ˜
M p ) p∈Π M . On définit D temp (K ˜
M (R), ω) comme la
somme directe des espaces D temp ( ˜
M p (R), ω) pour p ∈ Π
M . Pour ˜
π =
p∈Π M ˜
π p
dans cet espace et pour f = (f p ) p∈Π M ∈ I( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R)), on pose
I
K ˜
M (˜ π, f ) =
p∈Π M
I
˜
Mp (˜ π p , f p ).
On a diverses variantes : D temp,0 (K ˜
M (R), ω) etc. . .
Lemme. Il existe une unique application linéaire
ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
: D temp,0 (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ U
˜
G
˜
M
⊗ D temp,0 (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗