IX.6. Endoscopie et applications θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
1095
l’on n’a pas encore démontré que l’application Sθ
˜
G
˜
M
était stable. On note suivant
les cas cette application θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
),
c θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
),
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
).
Considérons maintenant un K-espace (KG, K ˜
G, a), un K-espace de Levi
K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ) et une donnée endoscopique M
de (KM, K ˜
M, a) qui est elliptique et relevante. On définit par la même formule une application linéaire
θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
) : I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) → SI ac (M
, K
M
) ⊗ Mes(M
(R)).
Proposition. Il existe une unique application linéaire
θ
K ˜
G,E
K ˜
M
: I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) → I ac (K ˜
M (R), ω, K
M ) ⊗ Mes(M (R))
telle que, pour toute donnée endoscopique M
de (KM, K ˜
M, a) qui est elliptique
et relevante et pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)), on ait l’égalité
(θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(f ))
M
= θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, f ).
L’application sera notée selon le cas θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
,
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
,
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
. La preuve
est la même que dans le cas non-archimédien. Il faut utiliser la version «K-finie»
de la proposition 4.11 de [I], à savoir le corollaire 3.5 de [IV].
Ces applications vérifient les mêmes propriétés que dans le cas non-archimédien, cf. en particulier [VIII] 3.6. Soit ˜
M une composante connexe de K ˜
M , soit ˜
π ∈
D ell ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). L’application
X → I
K ˜
M (˜ π, X, θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(f )) est de Schwartz sur A ˜
M . Sa transformée de Fourier
λ → I
K ˜
M (˜ π, λ, θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(f )) s’étend en une fonction méromorphe sur A
∗
˜
M,C
. Elle est
à décroissance rapide dans les bandes verticales. Ses pôles sont de la forme décrite
en 5.2(3). Dans le cas de l’application
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(et, en général, seulement dans
ce cas), les hyperplans polaires sont en nombre fini.
Rappelons une propriété importante :
(1) supposons K ˜
M = K ˜
G ; soit ˜
M une composante connexe de K ˜
M , soit ˜
π ∈
D ell ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) ; si chaque
point ν ˜
S est assez positif relativement à ˜
S, on a l’égalité
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
K ˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(f )) = 0
pour tout X ∈ A ˜
M .
Les propriétés de K-finitude du transfert entraînent que, si l’on fixe un ensemble fini Ω de K-types, il existe un ensemble fini Ω
M de K
M -types de sorte que
θ
K ˜
G,E
K ˜
M
envoie I(K ˜
G(R), ω, Ω)⊗Mes(G(R)) dans I ac (K ˜
M (R), ω, Ω
M )⊗Mes(M (R)).
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
1095
l’on n’a pas encore démontré que l’application Sθ
˜
G
˜
M
était stable. On note suivant
les cas cette application θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
),
c θ
rat, ˜
G,E
˜
M
(M
),
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
).
Considérons maintenant un K-espace (KG, K ˜
G, a), un K-espace de Levi
K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ) et une donnée endoscopique M
de (KM, K ˜
M, a) qui est elliptique et relevante. On définit par la même formule une application linéaire
θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
) : I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) → SI ac (M
, K
M
) ⊗ Mes(M
(R)).
Proposition. Il existe une unique application linéaire
θ
K ˜
G,E
K ˜
M
: I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) → I ac (K ˜
M (R), ω, K
M ) ⊗ Mes(M (R))
telle que, pour toute donnée endoscopique M
de (KM, K ˜
M, a) qui est elliptique
et relevante et pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)), on ait l’égalité
(θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(f ))
M
= θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, f ).
L’application sera notée selon le cas θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
,
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
,
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
. La preuve
est la même que dans le cas non-archimédien. Il faut utiliser la version «K-finie»
de la proposition 4.11 de [I], à savoir le corollaire 3.5 de [IV].
Ces applications vérifient les mêmes propriétés que dans le cas non-archimédien, cf. en particulier [VIII] 3.6. Soit ˜
M une composante connexe de K ˜
M , soit ˜
π ∈
D ell ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)). L’application
X → I
K ˜
M (˜ π, X, θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(f )) est de Schwartz sur A ˜
M . Sa transformée de Fourier
λ → I
K ˜
M (˜ π, λ, θ
K ˜
G,E
K ˜
M
(f )) s’étend en une fonction méromorphe sur A
∗
˜
M,C
. Elle est
à décroissance rapide dans les bandes verticales. Ses pôles sont de la forme décrite
en 5.2(3). Dans le cas de l’application
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(et, en général, seulement dans
ce cas), les hyperplans polaires sont en nombre fini.
Rappelons une propriété importante :
(1) supposons K ˜
M = K ˜
G ; soit ˜
M une composante connexe de K ˜
M , soit ˜
π ∈
D ell ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et f ∈ I(K ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) ; si chaque
point ν ˜
S est assez positif relativement à ˜
S, on a l’égalité
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
K ˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
(f )) = 0
pour tout X ∈ A ˜
M .
Les propriétés de K-finitude du transfert entraînent que, si l’on fixe un ensemble fini Ω de K-types, il existe un ensemble fini Ω
M de K
M -types de sorte que
θ
K ˜
G,E
K ˜
M
envoie I(K ˜
G(R), ω, Ω)⊗Mes(G(R)) dans I ac (K ˜
M (R), ω, Ω
M )⊗Mes(M (R)).