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Chapitre IX. Le cas archimédien
IX.6.4 Stabilité de l’application σ
˜
G
˜
M
On conserve les mêmes hypothèses.
Lemme. L’application σ
˜
G
˜
M
prend ses valeurs dans
U
˜
G
˜
M
⊗ D
st
temp,0 ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
Cela sera prouvé en 7.3.
IX.6.5 Une variante des intégrales orbitales pondérées stables
On suppose encore (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit
δ ∈ D
st
orb ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
On définit une forme linéaire f →
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ) sur I( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)) par la
formule habituelle
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
c I
˜
G
˜
M (δ, f ) −
s∈Z( ˆ
M) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
c S
G
(s)
M
(δ, f
G
(s) ).
La propriété de compacité 5.13(3) reste valable pour cette distribution.
Proposition. Pour tout δ ∈ D
st
orb ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ , la forme linéaire f →
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ) se quotiente en une forme linéaire sur SI( ˜
G(R), K) ⊗ Mes(G(R)).
Cela sera prouvé en 7.3.
IX.6.6 Les applications endoscopiques
Le triplet (G, ˜
G, a) est quelconque. Soient ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et M
= (M
, M
, ˜
ζ) une
donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M, a). Considérons l’une de
nos applications θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
que l’on note θ
˜
G
˜
M
. On définit une application
linéaire
θ
˜
G,E
˜
M
(M
) : I( ˜
G(R), ω, K) ⊗ Mes(G(R)) → SI ac (M
, K
M
) ⊗ Mes(M
(R))
par la formule
θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))Sθ
G
(˜ s)
M (f
G
(˜ s) ).
Dans le cas particulier où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et où
M
= M, il faut remplacer le terme indexé par s = 1 par Sθ
˜
G
˜
M
(f ), cela parce que