IX.6. Endoscopie et applications θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
rat, ˜
G
˜
M
,
c θ
˜
G
˜
M
1093
IX.6.3 Propriétés de l’application Sθ
rat, ˜
G
˜
M
Lemme. Il existe une unique application linéaire
σ
˜
G
˜
M
: D
st
temp,0 ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ U
˜
G
˜
M
⊗ D temp,0 ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
vérifiant la condition suivante. Soient
f ∈ I( ˜
G(R), K)⊗Mes(G(R)), ˜
π ∈ D
st
temp,0 ( ˜
M (R), ω)⊗Mes(M (R))
∗ et X ∈ A ˜
M .
Alors on a l’égalité
S
˜
M (˜ π, X, Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) =
iA ∗
˜
M
I
˜
M (σ
˜
G
˜
M
(˜ π; λ), f ˜
M )e
−−λ,X dλ.
Preuve. On utilise la définition de Sθ
rat, ˜
G
˜
M
(f ) de 6.1. Pour le premier terme, on a
S
˜
M (˜ π, X, p
st
˜
M
◦ θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) = I
˜
M (˜ π, X, θ
rat, ˜
G
˜
M
(f ))
puisque ˜
π est stable, d’où
S
˜
M (˜ π, X, p
st
˜
M
◦ θ
rat, ˜
G
˜
M
(f )) =
iA ∗
˜
M
I
˜
M (ρ
˜
G
˜
M
(˜ π; λ), f ˜
M )e
−−λ,X dλ
d’après le lemme 5.7. Pour les autres termes, on utilise l’énoncé par récurrence :
S
˜
M (˜ π, X, Sθ
rat,G
(s)
˜
M
(f
G
(s) )) =
iA ∗
˜
M
I
M (σ
G
(s)
M
(˜ π; λ), (f
G
(˜ s) ) M )e
−−λ,X dλ.
Evidemment, en identifiant l’espace de la donnée endoscopique maximale M à ˜
M ,
on a simplement (f
G
(˜ s) ) M ) = f ˜
M . En définissant σ
˜
G
˜
M
(˜ π) par
σ
˜
G
˜
M
(˜ π) = ρ
˜
G
˜
M
(˜ π) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))σ
G
(s)
M
(˜ π),
les formules précédentes conduisent à l’égalité de l’énoncé. L’unicité de l’application σ
˜
G
˜
M
se prouve comme au lemme 5.7.
Avec les mêmes notations qu’en 5.7(7), la définition par récurrence donnée
ci-dessus entraîne
(1) σ
˜
G
˜
M
envoie
Ind
˜
M
˜
R
(D
st
ell,0,μ ( ˜
R(R), ω) λ ⊗ Mes(R(R))
∗ )
dans
U
˜
G
˜
M
⊗ Ind
˜
M
˜
R
(D ell,0,μ ( ˜
R(R), ω) λ ⊗ Mes(R(R))
∗ ).